UNIVERSIDAD ESTATAL DE BOLÍVAR
FACULTAD EN CIENCIAS DE LA SALUD
ESCUELA DE INGENIERIA EN GESTIÓN Y RIESGO
¨
MÓDULO
DE
MATEMÁTICA I
MODALIDAD PRESENCIAL
Máster: ROBERTO SUAREZ TAGLE
ASESOR PEDAGÓGICO
1959041619721208
2009 – 10 – 19
INTRODUCCIÓN
Apreciado estudiante de la Facultad Ciencias de la Salud, Escuela Ingeniería en Gestión de Riesgos, de la Universidad Estatal de Bolívar.
En el presente evento académico, les corresponde recibir asesoría pedagógica relacionada con MATEMÁTICA I , la misma que consta dentro del proceso de enseñanza aprendizaje de acuerdo al Currículo por áreas para Matemática, como parte de las expresiones que deben conocer todos los estudiantes y por ser un lenguaje riguroso e Inter. Relacionador, facilita la comprensión y el aprendizaje de la Matemática y de las demás ciencias. De esta manera a más de evitar ambigüedades en el Lenguaje Común, contribuye al desarrollo de destrezas propias del pensamiento lógico formal, por medio de procesos matemáticos.
Pero es importante destacar que se da un hecho histórico innegable, en razón de que la mayoría matemáticos crean circunstancias muy especiales como la aplicación Matemática que se hace en el campo de la Ingeniería . Pero la analogía entre ambas radica en la precisión, en la exactitud, en evitar toda vaguedad o ambigüedad.
En verdad el hombre, con las facultades imaginativas, poco o nada puede hacer sin símbolos y en el presente programa de estudio trataremos en el estudio de la Matemática con el Razonamiento Lógico Matemático y las formas de razonamiento, una herramienta básica para sus estudios de Ingeniería en Gestión de Riesgo y Desastres.
Entonces distinguidos estudiantes, ampliemos en vosotros la capacidad de pensamiento deductivo, ya que muchas respuestas de la Matemática no dependen de sus conocimientos previos ni de su memoria, sino únicamente que resultan del uso de pensar lógicamente, apoyándose firmemente en la Matemática.
Afectuosamente.
Máster. Roberto Suárez Tagle.
MASTER EN DOCENCIA UNIVERSITARIA
E INVESTIGACIÓN EDUCATIVA.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL.
Lograr que los estudiantes de la Universidad Estatal de Bolívar, Facultad Ciencias de la Salud, al finalizar el Curso en la Asignatura Matemática I, estén en capacidad de buscar alternativas válidas, que ofrezcan una vía de solución correcta en los diferentes problemas de razonamiento deductivo.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
• Utilizar razonamiento deductivo para el desarrollo de la mente del estudiante de de la Escuela Gestión de Riesgo.
• Resolver juegos matemáticos donde las respuestas no dependan de conocimientos previos.
• Analizar e Interpretar resultados mediante el uso del Razonamiento Lógico.
• Introducir a los estudiantes en cada asesoría a la Matemática razonada y Recreativa.
• Aplicar la capacidad de pensamiento deductivo a los sistemas algebraicos.
METODOLOGÍA GENERAL DEL TRABAJO Y EVALUACIÓN
MÉTODOS Y TÉCNICAS EN LA RED DE ASESORÍA.
MÉTODOS.
Para lograr el éxito del auto aprendizaje en la modalidad presencial en la Asignatura de I Matemática, aplicada a la Ingeniería en Gestión de Riesgo, se utilizarán métodos didácticos activos, analíticos, de investigación y deductivos.
TÉCNICAS:
Para implementar la metodología a utilizar, se aplicarán técnicas activas con formas específicas para el cumplimiento de un procedimiento didáctico de acción a partir de la información suministrada a los estudiantes, mediante la investigación, taller, dinámica grupal, donde el uso de la lógica sea la parte esencial del trabajo.
FORMAS Y TÉCNICAS DE EVALUACIÓN.
Por ser la Evaluación Educativa un proceso sistemático, continuo y coherente en el proceso de Enseñanza Aprendizaje, esta será sistemática, formativa y sumativa en cada encuentro, razón por la cual es importante 100 % su asistencia a clase, ya que con exceso de faltas a la Red de Asesoría, el alumno prácticamente queda fuera del evento académico y por lo tanto reprueba el Módulo de Matemática.
La Evaluación individual y grupal serán de 10 puntos, de igual manera se evaluarán trabajos extra curriculares sobre 10 puntos y su examen final en el último encuentro será sobre 10 puntos, mediante una prueba escrita individual, lo que le acreditará un promedio total de 10 puntos.
Sin embargo ud, aprobará la Asignatura con la calificación mínima de 7 puntos
NUCLEO DE VALORES, HABILIDADES Y PRINCIPIOS
Valores Habilidades Principios, Leyes, Métodos
• Solidaridad
• Empatía
• Responsabilidad
• Compromiso
• Respeto
• Confianza
• Pertinencia
• Tolerancia • Identificar zonas de riesgo e impacto
• Cuantificar los riesgo e impactos
• Interpretar escenarios de riesgos e impactos
• Elaboración de mapas de riesgos (amenazas, vulnerabilidades y capacidades) e impactos
• Elaborar informes de escenarios de riesgo e impactos •
Principio: Concreto, Exacto.
Leyes cualitativas y Cuantitativas.
Método: Heurístico, Analítico, Practico Cognitivo
CONTENIDOS
PRIMERA UNIDAD
INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA
PRIMERA UNIDAD
ECUACIONES E INECUACIONES
Definición de ecuaciones e inecuaciones.- Resolución de Ecuaciones e Inecuaciones.- Resolución de problemas de Ecuaciones e Inecuaciones.- Sistemas de ecuaciones e inecuaciones.- Resolución de Ecuaciones e inecuaciones.- Relaciones de funciones y gráficos. - Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación.
SEGUNDA UNIDAD
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALITICA
Geometría analítica.- Plano Cartesiano.-Pares ordenados.- Distancia entre dos puntos.- División de una recta.- Ecuaciones de la recta apoyada en un punto.- Pendiente e inclinación de una recta.- Ecuación de la Recta apoyada en dos puntos.- Ecuación de la circunferencia.- Secciones cónica .- Definición y aplicación de Geometría plana: Triángulos, cuadriláteros.- Polígonos.- Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación
TERCERA UNIDAD
INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA
Definición y aplicación Trigonometría.-Funciones Trigonométricas.- Identidades Trigonométricas.- Teorema de Pitágoras.- Resolución de triángulos Rectángulos y Oblicuángulos.- Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación
CUARTA UNIDAD
MATEMÁTICA RECREATIVA
Matemática Recreativa.- Matemática , Reina de las Ciencias.- Números y Magnitudes.- Curiosidades Matemáticas.- Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación Extra clase.
DESARROLLO DE CONTENIDOS
PRIMERA UNIDAD
INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA
Conjuntos de números Reales y sus relaciones.-Definición Algebra Elemental.- Signos de Agrupación.- Fracciones algebraicas.-Operaciones Algebraicas.- Descomposición factorial.-Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación
DESARROLLO
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.
EJEMPLOS DE NUMEROS NATURALES
5 4
7 8
APLICACIONES DE LOS NUMEROS ENTEROS POSITIVOS
4X 8X
5W 6W MONOMIOS POSITIVOS
9a 3ª
APLICACIONES DE LOS NUMEROS ENTEROS NEGATIVOS
-4X -6X
-5W -8W MONOMIOS NEGATIVOS
-8a -4a
APLICACIONES DE LOS NUMEROS RACIONALES
4÷5= 0.8 4/5 X
2÷6= 0.33 2 /6W
1÷5= 0.2 1/5a
O…….
0.8X
0.33W
0.2ª
APLICACIONES DE LOS NUMEROS IRRACIONALES
π(PI)
: CONSTANTE Ǿ(FI)
2, 3, 5, 7
3π 3Ǿ 2 X
-4π -4Ǿ 3 W
4/5π 4/5Ǿ 5 a
0,8π 0.8Ǿ
APLICACIONES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
(i)
Códigos especiales
(a+bi)
Ejemplos:
4i
(a+5i)
BINOMIO COMPLEJO
3(2-8i)
APLICACIONES ALGEBRAICAS DE LOS NÚMEROS REALES CON MONOMIOS
MONOMIOS
Es una expresión algebraica que consta de un solo término Ejm.
3b, 10a
BINOMIOS
Son expresiones algebraicas que constan de dos términos
Dos monomios separados por un signo forman un binomio Ejm.
5b-10a
TRINOMIOS
Es una expresión algebraica consta de tres términos, Ejm.
8a-24b+14c
SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación son de cuatro clases: el paréntesis ordinario (), el paréntesis angular o corchete, las llaves y el vínculo o barra.
USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como una sola cantidad.
1) Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo + se deja el mismo signo que tenga cada una de las cantidades que se hallan dentro de él.
2) Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo – se cambia el signo a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él.
EJEMPLOS:
(1) .- Suprimir los signos de agrupación en la expresión.
a + (b - c)+ 2a-(a + b).
Esta expresión equivale a
+a (+b - c)+2a - (+ a + b).
Como el primer paréntesis va precedido del signo + lo suprimimos dejando a las cantidades que se hallan dentro con su propio signo y como el segundo paréntesis va precedido del signo- lo suprimimos cambiando el signo las cantidades que se hallan dentro y tendremos:
a + (b - c) +2a –(a + b)
= a + b – c + 2a – a - b
= 2a-c.R/
(2).- Suprimirlos signos de agrupación
El paréntesis y las llaves están precedidas del signo +, luego lo suprimimos dejando las cantidades que se hallan dentro con su propio signo y como el corchete va precedido del signo -, lo suprimimos cambiando el signo a las cantidades que se hallan dentro, y tendremos:
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio N.-1
Ejercicio N.-2
Ejercicio N.-3
Ejercicio N.-4
=
Ejercicio N.-5
2a+
Ejercicio N.-6
Ejercicio N.-7
=
Ejercicio N.-8
Ejercicio N.-9
Ejercicio N.-10
FASE SIMBÓLICA
0 m 45m 50m 100m
PRODUCTOS NOTABLES
Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.
FACTOR COMÚN
El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
c(a + b)= ca + cb
Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es
c= (a + b) el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).
Ejemplo
3x (4x + 6y)= 12x2 + 18xy
BINOMIO AL CUADRADO O CUADRADO DE UN BINOMIO
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:
(a + b)2 + a2 + 2ab + b2
Un trinomio de la forma: a2 + 2ab + b2 se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:
(a - b)2= a2- 2ab + b2
En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo. Ejemplo:
(2x – 3y)2 + (2x)2 + 2(2x)(-3y)+ (-3y)2
Simplificando:
(2x – 3y)= 4x2 - 12xy + 9y2
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.
( x + 4) ( x + b)= x2 + (a + b)x + ab
Ejemplo: ( 3x + 4)(3x -7)= (3x)(3x) + (3x)(-7) + (3x)(4) + (4)(-7)
Agrupando términos:
(3x + 4)(3x – 7)= 9x2 – 21x + 12x – 28
Luego:
(3x + 4)(3x – 7)= 9x2 – 9x – 28
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS
Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados.
(a + b)(a - b)= a2 – b2
Ejemplo:
(3x + 5y)(3x – 5y)
Agrupando términos:
(3x + 5y)(3x-5y)= 9x2 – 25y2
A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.
POLINOMIO AL CUADRADO
Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.
(a + b + c)= a + b + c + 2(ab + ac + bc)
(a + b + c + d)2 = a2 b2c2d2 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)
Ejemplo
(3x + 2y – 5z)2 = ( 3x + 2y – 5z)(3x + 2y – 5z)
Multiplicando los monomios:
(3x + 2y – 5z)2 = 3x.3x+3x.2y+3x.(-5z)
+2y.3x+2y+2y.(-5z)
+(-5z).3x+(-5z).2y+(-5z).(-5z)
Agrupando términos:
(3x+2y-5z)2= 9x + 4y2 + 25z2 +2(6xy – 15xz – 10yz)
Luego:
(3x + 2y – 5x)2 = 9x2 + 4y2 + 25z2 + 12xy – 30xz – 20yz
BINOMIO AL CUBO O CUBO DE UN BINOMIO
Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.
(a + b)2= a3 + 3a2b + 3ab2 b3
Identidades de Cauchy:
(a + b)3= a3+ b3+ 3ab(a + b)
Ejemplo:
(x + 2y)3= x3+ 3(x)2(2y)+3(x)(2y)2+(2y)3
Agrupando términos:
(x + 2y)3= x3+6x2+12xy2+8y3
Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.
(a – b)3= a3 – 3a2b+3ab2 – b3
Identidades de Cauchy:
(a – b)3= a3 – b3 – 3ab(a – b)
Ejemplo
(x – 2y)3= x3- 3(x)2 (2y)+3(x)(2y)2- (2y)3
Agrupando términos:
(x – 2y)3= x3- 6x2y+12xy2- 8y3
FACTORIZACION
La factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).
Factorizar un polinomio
Antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede Factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
• Binomios
1. Diferencia de cuadrados
2. Suma o diferencia de cubos
3. Suma o diferencia de potencias impares iguales
• Trinomios
1. Trinomio cuadrado perfecto
2. Trinomio de la forma x²+bx+c
3. Trinomio de la forma ax²+bx+c
• POLINOMIOS
1. FACTOR COMÚN
Caso I - Factor común
Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
Factor común monomio
Factor común por agrupación de términos
Factor común polinomio]
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
Un ejemplo:
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
La respuesta es:
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:
Se puede utilizar como:
Entonces la respuesta es:
CASO II - FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:
Un ejemplo numérico puede ser:
Entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
Aplicamos el primer caso (Factor común)
CASO III - TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
Y
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
Organizando los términos tenemos
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separado por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
Al verificar que el doble producto del primero por el segundo termino es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.
CASO IV - DIFERENCIA DE CUADRADOS
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b) (a + b), uno negativo y otro positivo.)
O en una forma más general para exponentes pares:
Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.
La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener la raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.
CASO V - TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.
CASO VI - TRINOMIO DE LA FORMA X2 + BX + C
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Caso - VII Suma o diferencia de potencias a la n
La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):
Quedando de la siguiente manera:
Ejemplo:
La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Que dando de la siguiente manera:
Ejemplo:
Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.
CASO VII - TRINOMIO DE LA FORMA AX2 + BX + C
En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, ósea sin una parte literal, así:
Para Factorizar una expresión de esta forma; primero se coge el término al lado de x2, (en este caso el 4) y se multiplica por toda la expresión, dejando el segundo término igual pero en paréntesis y dejando todo esto en una fracción. Usando como denominador el término que estamos multiplicando, multiplicándolo con el 1
Luego separamos en dos fracciones el término
Y después procedemos a eliminar las fracciones
CASO IX - CUBO PERFECTO DE TETRANOMIOS
Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:
SEGUNDA UNIDAD
ECUACIONES E INECUACIONES
Definición de ecuaciones e inecuaciones.- Valor Absoluto.- Resolución de Ecuaciones e Inecuaciones.- Resolución de problemas de Ecuaciones e Inecuaciones.- Sistemas de ecuaciones e inecuaciones.- Resolución de Ecuaciones e inecuaciones.- Relaciones de funciones y gráficos. Matrices y determinantes.- Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación
DESARROLLO
PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON ECUACIONES LINEALES.-
1.- La suma de tres nº consecutivos es 114 ¿cuáles son esos nº ?
2.- ¿Cual es el nº que al multiplicarlo por 2 y sumarle 84 al resultado es igual a 234
3.- Las edades de Juan y Antonio suman 46 años Juan tiene 6 años mas que Antonio ¿Cual es la edad de cada uno?
4.- Un padre dice a su hijo :Hoy mi edad es el triple que la tuya pero dentro de 18 años será solo el doble ¿cuantos años tiene cada uno?
5.- El cociente y resto de una división entera son iguales a 4, entre el dividendo y divisor suman 149. Calcula Los tres lados de un triángulo miden 18, 16, 9 cm
.
7.- Determinar que misma cantidad se debe restar a cada lado para que resulte un triángulo rectángulo.
8.-Hallar dos nº pares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 452
9.- Determinar un nº que sumado con su raíz cuadrada sea 132
TERCERA UNIDAD
INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA
Definición y aplicación Trigonometría.-Funciones Trigonométricas.- Identidades Trigonométricas.- Teorema de Pitágoras.- Resolución de triángulos Rectángulos y Oblicuángulos.- Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación
DESARROLLO
DEFINICIÓN Y APLICACIONES DE TRIGONOMETRÍA.-
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial Internacional. Este manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posición final del astronauta en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonómetricas de esos ángulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.
• 1 Unidades angulares
• 2 Razones trigonométricas
• 3 Razones trigonométricas recíprocas
• 4 Funciones trigonométricas inversas
• 5 Valor de las funciones trigonométricas
• 6 Sentido de las funciones trigonométricas
o 6.1 Primer cuadrante
o 6.2 Segundo cuadrante
o 6.3 Tercer cuadrante
o 6.4 Cuarto cuadrante
• 7 Representación gráfica
• 8 Identidades trigonométricas
o 8.1 Recíprocas
o 8.2 De división
o 8.3 Por el teorema de Pitágoras
o 8.4 Suma y diferencia de dos ángulos
o 8.5 Suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos
o 8.6 Producto del seno y coseno de dos ángulos
o 8.7 Ángulo doble
o 8.8 Ángulo mitad
o 8.9 Otras identidades trigonométricas
• 9 Función tangente
• 10 Seno y coseno, funciones complejas
• 11 Referencias
• 12 Bibliografía
• 13 Véase también
• 14 Enlaces externos
Unidades angulares
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.
• Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes.
• Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
• Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
Razones trigonométricas
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,
• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
Razones trigonométricas recíprocas
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
• La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:
• La Secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:
• La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.
Funciones trigonométricas inversas
En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:
y es igual al seno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.
si:
y es igual al coseno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.
si:
y es igual al tangente de x, la función inversa:
x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.
Valor de las funciones trigonométricas
A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:
Circunferencia en radianes.
Circunferencia en Grado sexagesimal.
Radianes
Grados sexag.
seno
coseno
tangente
cosecante
secante
cotangente
Para el calculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.
Sentido de las funciones trigonométricas
Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.
Notese que el punto A es el vertice del triangulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:
a todos los efectos.
La recta r, que pasa por O y forma un ángulo sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.
Por semejanza de triángulos:
Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia y son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:
tenemos:
La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.
Primer cuadrante
Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo .
Para , tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto:
Si aumentamos progresivamente el valor de , las distancias y aumentaran progresivamente, mientras que disminuirá.
Percatarse que y están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia será infinita.
La tangente toma valor infinito cuando rad, el seno vale 1 y el coseno 0.
Segundo cuadrante
Cuando el ángulo supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento , el coseno aumenta según el segmento , pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.
La tangente para un ángulo inferior a rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo aumenta progresivamente hasta los rad.
Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de , , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para rad, hasta que valga 0, para rad, el coseno, , toma valor negativo y su valor varia desde 0 para rad, hasta –1, para rad.
La tangente conserva la relación:
incluyendo el signo de estos valores.
Tercer cuadrante
En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo rad a rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para rad:
Cuando el ángulo aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.
A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento , el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.
El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, .
Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente, , aumenta igual que en el primer cuadrante
Cuando el ángulo alcance rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.
El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.
Cuarto cuadrante
En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo entre rad y rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para rad:
hasta los que toman para rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:
como puede verse a medida que el ángulo aumenta, aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y.
Cuando , vale ó al completar una rotación completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Representación de las funciones trigonométricas en el plano (x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen seis identidades fundamentales:
Recíprocas
De división
POR EL TEOREMA DE PITÁGORAS
Como en el triángulo rectángulo cumple la funcion que:
de la figura anterior se tiene que:
entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica :
que también puede expresarse:
SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
SUMA Y DIFERENCIA DEL SENO Y COSENO DE DOS ÁNGULOS
PRODUCTO DEL SENO Y COSENO DE DOS ÁNGULOS
ÁNGULO DOBLE
ÁNGULO MITAD
CUARTA UNIDAD
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALITICA
Geometría analítica.- Plano Cartesiano.-Pares ordenados.- Distancia entre dos puntos.- División de una recta.- Ecuaciones de la recta apoyada en un punto.- Pendiente e inclinación de una recta.- Ecuación de la Recta apoyada en dos puntos.- Ecuación de la circunferencia.- Secciones cónica .- Definición y aplicación de Geometría plana: Triángulos, cuadriláteros.- Polígonos.- Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación
DESARROLLO
DESARROLLO
GEOMETRÍA ANALÍTICA.
Es una parte de la matemática que se caracteriza por la aplicación del Algebra a la Geometría Plana, considerada esta última dentro del plano.
PLANO CARTESIANO Y PARES ORDENADOS.
Dentro del Plano geométrico se llama plano cartesiano a la intersección perpendicular de dos segmentos de rectas, el mismo que se divide en cuatro cuadrantes, correspondiendo al primer cuadrante ( + , + ) , al segundo cuadrante ( - , + ) , al tercer cuadrante ( + , + ) y al cuarto cuadrante ( + , - ) , constituyendo cada simbología los signos de los pares ordenados.
II I
III IV
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia expresa la proximidad o lejanía entre dos objetos, o el intervalo de tiempo que transcurre entre dos sucesos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de Pitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1)
d = 5 unidades
ECUACIONES DE LA RECTA
Tomados dos puntos de una recta, la pendiente , es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:
:
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente:
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.
La ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (x1,y1) tiene la pendiente dada M y que se establece de la siguiente manera:
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, - 4) y que tiene una pendiente de – 1/3
Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:
PENDIENTE DE LA RECTA
En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal (la tangente inversa del valor de la "m" es el ángulo en radianes).
Puede referirse a la pendiente de una recta, caso particular de la tangente a una curva cualquiera, en cuyo caso representa la derivada de la función en el punto considerado, y es un parámetro relevante en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas, canales y otros elementos constructivos.
La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:
(El símbolo delta "Δ", es comúnmente usado en cálculo para representar un cambio o diferencia).
Dados dos puntos (x1,y1) y (x2,y2), la diferencia en X es x2 − x1, mientras que el cambio en Y se calcula como y2 − y1. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:
Que no encontramos que es pendiente entre dos puntos.
ACTIVIDADES
EJERCICIO.1.-
Hallar la distancia entre los puntos de coordenadas
a) (-2,3) y (5,1) , b) (6,-1) y (-4,-3) , c) (-1,-5) y (2,-3)
EJERCICIO. 2-
Ver si los puntos de coordenadas (3,8) (-11,3) y (-8,-2) son vértices de un triángulo
isósceles.
Ver si los puntos de coordenadas (2,-2 ) (-3,-1) y ( 1,6) son vértices de un triángulo
isósceles.
EJERCICIO.3-
Ver si los puntos dados son vértices de un triángulo rectángulo
a) ( 7,5 ) ( 2,3 ) ( 6,-7)
b) ( -2,8 ) ( -6,1) ( 0,4)
c) ( 0,9) ( -4, -1) ( 3,2)
d) (1,1) (-2,-4) (1,-4)
EJERCICIO .4.-
-Ver si los puntos dados son colineales
a) ( -3, -2 ) ( 5,2 ) ( 9,4)
b) ( 0,4 ) ( 3,-2 ) ( -2,8)
c) ( 0,6 ) (3, -1 ) (1,7)
d) (2,9) (-2,1) (-3,-1)
e) (0,5) (-1,3) (1,7)
EJERCICIO.5.-
-
Hallar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son:
a) ( -2,5 ) ( 4,3 ) ( 7,-2)
b) ( 2,-5 ) ( -3,4 ) ( 0,-3)
www.amatematicas.cl 2
c) ( -1 ,-2 ) ( 4,2) ( -3,5)
EJERCICIO 6.-
Determinar un punto que equidiste de los puntos dados
a) ( 1 ,7 ) ( 8, 6 ) ( 7 ,-1)
b) ( 3 ,3 ) ( 6,2 ) ( 8,-2 )
c) ( 4, 3) ( 2,7 ) ( -3, -8 )
EJERCICIO. 7.-
Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo que las coordenadas
de los puntos medios de sus lados son
a) ( -2 ,1) (5,2) (2,-3)
b) (3,2) (-1,-2) (5,-4)
ECUACIÓN DE LA RECTA APOYADA EN UN PUNTO
Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es la pendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de la siguiente manera:
entonces m es la pendiente. En esta ecuación, el valor de b puede ser interpretado como el punto donde la recta intersecta al eje Y, es decir, el valor de y cuando x = 0. Este valor también es llamado ordenada al origen.
Si la pendiente m de una recta y el punto (x0,y0) de la recta son conocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada usando:
Por ejemplo, considere una recta que pasa por los puntos (2, 8) y (3, 20). Esta recta tiene pendiente
. Luego de esto, uno puede definir la ecuación para esta recta usando la fórmula antes mencionada:
EJERCICIO. 1.-
Representa gráficamente las siguientes rectas:
a) y = 2.x b) y = -x-1 c) y = 2.x + 3 d) y =0 e) y =2x-
3 f) x = 0
g) y = -x +1 h) y = 3 i)3x +2y+1=0 j) -3x+ 2y= 0
EJERCICIO 2.-
Determinar m y n de modo que los puntos de coordenadas (0,m) y (n,0) son soluciones
de la ecuación 2x -3y + 6 = 0.
EJERCICIO.-3.-
Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1) y es paralela a la recta
que pasa por los puntos (1,3 ) ( 2,0 )
EJERCICIO.4.-
Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (2, -2) y ( - 1,3)
EJERCICIO.-5.-
Ecuación de la recta que pasa por el punto ( -4,5) y cuya pendiente es 2/3
EJERCICIO. 6.-
Ecuación de la recta que pasa por el punto ( -4,1) y es paralela a la recta que une los puntos (2,3) y ( -5,0)
EJERCICIO.-7.-
Ecuación de la recta que pasa por el punto ( 2, -1) y es perpendicular a la recta que une los puntos (4,3) y ( -2,5)
EJERCICIO.-8.-
Siendo los vértices de un triángulo A(9,6) B(1,4) C(7,2) se pide
Hallar:
.- Ecuación del lado AB
.- Ecuación de la recta que pasa por (0, -3) y es paralela a BC
.- Ecuación de la perpendicular en el punto medio de AC.
EJERCICIO.- 9.-
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas
3x - 2y +10=0 y el punto (2,1)
4x+ 3y- 7 =0
EJERCICIO.10
Ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección del as rectas
x +3y=5 , 3x +5y= 11 y es perpendicular a la recta x +y = 7
EJERCICIO.- 11
Resolver los siguientes sistemas. Representarlos gráficamente y significado geométrico
de su solución:
a)y = x +2 b) x +y =3 c) 5x +y =6
y = 2x +3 x +2y =4 5x +3y =7
d) 4x +2y = - 1 e) x -y =4 f) x –y =1
x +y =0 3x - 3y= -3 2x - 2y=2
g) x +y =2 h) x +y = 2 i) x +y =2 j) x +y =
-3
x –y =4 3x +3y=3x +y =4 2 x +y
=2
PENDIENTE E INCLINACIÓN DE LA RECTA
Pendiente de una carretera.
En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal (la tangente del valor de la "m" es el ángulo en radianes).
Puede referirse a la pendiente de una recta, caso particular de la tangente a una curva cualquiera, en cuyo caso representa la derivada de la función en el punto considerado, y es un parámetro relevante en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas, canales y otros elementos constructivos.
• 1 Definición de la pendiente
• 2 Geometría
• 3 La pendiente en las ecuaciones de la recta
• 4 Véase también
Definición de la pendiente.
La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano ), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:
(El símbolo delta "Δ", es comúnmente usado en calculo para representar un cambio o diferencia).
Dados dos puntos (x1,y1) y (x2,y2), la diferencia en X es x2 − x1, mientras que el cambio en Y se calcula como y2 − y1. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:
que es pendiente entre dos puntos
Mientras el valor de la pendiente sea mayor, la recta tendrá a su vez mayor inclinación. Una línea horizontal tiene pendiente = 0, mientras que una que forme un ángulo de 45° con el eje X tiene una pendiente = +1 (si la recta "sube hacia la derecha"). Una recta con 45° de inclinación que "baje hacia la derecha", tiene pendiente = -1. Una recta vertical no tiene un número real que la defina, ya que su pendiente tiende a infinito.
El ángulo θ que una recta tiene con el eje positivo de X, está relacionado con la pendiente M, en la siguiente ecuación:
y
Dos o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, o si ambas son verticales y por ende no tienen pendiente definida; 2 o más rectas son perpendiculares (forman un ángulo recto entre ellas), si el producto de sus pendientes es igual a -1, o una posee pendiente 0 y la otra no esta definida (infinita).
La pendiente de la recta en la fórmula general:
está dada por:
ECUACIÓN DE LA RECTA APOYADA EN DOS PUNTOS
QUINTA UNIDAD
MATEMÁTICA RECREATIVA
Matemática Recreativa.- Matemática, Reina de las Ciencias.- Números y Magnitudes.- Curiosidades Matemáticas.- Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación Extra clase.
DESARROLLO
MATEMÁTICA RECREATIVA
Aquella matemática que nos invita a conocer curiosidades numéricas ingeniosas hechas desde tiempos muy remotos por grandes matemáticos hasta la actualidad, nos introduce en un mundo maravillo que nos motiva a considerar a la matemática como una ciencia muy fácil, pese a que por lo general quienes hacemos matemática estamos acostumbrados a trabajar con ejercicios y más todavía con problemas que nos llevan a razonar detenidamente, los diferentes Acertijos Lógicos, Juegos de Ingenio, Juegos de Lógica , Juegos de Creatividad, Juegos Recreativos, Juegos con Figuras, Juegos Numéricos, Test de Diversión, parecen a primera vista complicados, en razón de que estamos acostumbrados a trabajar con ejercicios y problemas complicados, pero en realidad son simples, sencillos, pero que requieren de ingenio, de razonamiento deductivo para encontrar la solución..
MATEMÁTICA REINA DE LAS CIENCIAS
La Matemática está considerada como la Reina de las Ciencias, es razón de que siendo la Matemática una ciencia relacionada con todo lo que globaliza la utilización de cantidades, sistemas de numeración, etc., muy vinculada con otras áreas y ciencias del conocimiento, es decir que la matemática siempre está presente en todo nuestro mundo educativo.
Aunque parezca la matemática una ciencia difícil, si bien es un poco complicada para la gran mayoría de personas, en cambio es muy fácil para un sector representativo de personas, a quienes nos agradan las ciencias exactas, en razón de que tenemos desarrollada la Inteligencia Lógica Matemática, la Inteligencia Espacial, la Inteligencia Asociativa, la Inteligencia Deductiva.
Pero a la matemática , los educadores tenemos que hacerla en Educación Básica muy hermosa y fácil, mediante el juego, la distracción, que nos brinda la Matemática Recreativa.
NÚMEROS Y MAGNITUDES
Los números siempre han apasionado a muchas personas desde la antigüedad, a tal punto que se han desarrollado maravillosas expresiones matemáticas a base de sorprendentes cálculos aritméticos con la simple aplicación de las cuatro operaciones fundamentales, enigmas que el hombre actual se sorprende si consideramos que en esa época no disponían de calculadoras poderosas como las de hoy, en aquella época solamente disponían de cálculos manuales.
Ejemplo.
Patty nació en el año 1970, Alexandra nació en el año 1972. Si Eliana es más joven que Alexandra, entonces sabemos que ……………..
• Patty es mayor que Alexandra y más joven que Eliana..
• Patty es más joven que Alexandra y mayor que Eliana.
Eliana es más joven que Alexandra y que Patty.
• Alexandra es más joven que Patty y mayor que Eliana.
• Alexandra es mayor que Patty y más joven que Eliana.
RAZONAMIENTO ANALÍTICO..
El Razonamiento Analítico permite evaluar la capacidad de sacar conclusiones a partir de una información disponible, los mismos que en el área de la matemática, facilitan la interpretación de problemas, para su posterior resolución mediante las fases procedimentales: Concreta, gráfica, simbólica y complementaria.
Ejemplos.
1.- Pida a uno de sus compañeros o compañeras sin que Ud observe, que escriba cuanto calza, luego dígale que le multiplique por 100. A ese resultado que le reste el año completo en que nació, a continuación pídale ese resultado. Ahora: ¿ Como haría Ud, para calcular cuanto calza y que edad tiene a la fecha o va a cumplir en este año?
2.- Un lechero desea vender un litro de leche que le han solicitado, pero resulta que dispone solamente de una botella de ocho litros que está llena de leche , una botellas vacías de cinco litros y otra botella vacía de tres litros. ¿ Cómo podrá vender lo solicitado?
3.-.- Dispongo de dos balanzas iguales y equilibradas cada una. Pero en la primera balanza tengo un libro y un gato, mientras que en el platillo de la derecha tengo siete tarros con gaseosas que pesan cada 500 gramos cada uno. Pero resulta que en la segunda balanza tengo en el platillo de la izquierda cinco tarros con gaseosas iguales a los anteriores y en el platillo de la derecha tengo un libro igual que el anterior y tres tarros. Ahora ayúdeme para saber Cuanto pesa el gato?
RAZONAMIENTO SIMBÓLICO.
Mediante el Razonamiento Simbólico los docentes logran desarrollar y evaluar las habilidades que permiten hacer inferencias lógicas con numerales ( cantidades numéricas ), mediante las cuales los estudiantes aplican toda una serie de habilidades de razonamiento que ponen en juego la creatividad par lograr la solución de ejercicios numéricos.
Ejemplos:
1.- Dadas las siguientes fichas numéricas, determinar las respectivas inferencias que se presentan en cada una de ellas y luego en todas.
1 3 5 7 9 11 13 15
17 19 21 23 25 27 29 31
33 35 37 39 41 43 45 47
49 51 53 55 57 59 61 63
2 3 6 7 10 11 14 15
18 19 22 23 26 27 30 31
34 35 38 39 42 43 46 47
50 51 54 55 58 59 62 63
4 5 6 7 12 13 14 15
20 21 22 23 28 29 30 31
36 37 38 39 44 45 46 47
52 53 54 55 60 61 62 63
8 9 10 11 12 13 14 15
24 25 26 27 28 29 30 31
40 41 42 43 44 45 46 47
56 57 58 59 60 61 62 63
16 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
RAZONAMIENTO FIGURATIVO ( ABSTRACTO.).-
El Razonamiento Figurativo permite lograr en los estudiantes una evaluación de su apreciación de representaciones de lo abstracto que se presentan por medio de dibujos, figuras, ilusiones ópticas, etc.
Ejemplo.
A continuación le propongo una serie de curiosidades matemáticas que le fascinarán en este maravilloso mundo de la Matemática Recreativa, la misma que Ud, muy bien puede utilizarla en el aula de clase, ya que si bien es cierto que juega matemáticamente, en cambio en el aula ud,
Pedagógicamente ya está en capacidad de jugar matemáticamente con el Sistema Numérico, Sistema de Funciones, Sistema Geométrico, Sistema de Medidas, Sistema Estadístico y Sistema de Probabilidad.
A continuación diviértase con un poco de matemática recreativa:
1.-A propósito de la Copa Mundo Alemania 2006 que acabamos de pasar, los matemáticos jugaron y encontraron curiosidades con las selecciones de Alemania, Argentina y Brasil. Que ya han ganado campeonatos. Así por ejemplo.
• ARGENTINA: 1986 último campeonato ganado
+ 1978 anterior campeonato ganado
_______
3964 número curioso.
• ALEMANIA: 1990 ultimo campeonato ganado.
+ 1974 anterior campeonato ganado.
________
3964 número curioso
• BRASIL: 2002 último campeonato ganado
+ 1962 anterior campeonato ganado
________
3964 número curioso
2.- Yo su servidor y Asesor Pedagógico Master Roberto Suárez Tagle también quise jugar matemáticamente con uno de los finalistas de la Copa Mundo Alemania 2006, como lo es Italia, tres veces campeón del mundo en los años 1934 , 1938 y 1982.
• ITALIA: 1982 último campeonato ganado
+ 1938 anterior campeonato ganado
________
3920 Pero desde el primer campeonato ganado En 1934 hasta la Copa Mundo 2006, han pasado 40 años. 3920
+ 40 años transcurridos.
________
3960
Pero así mismo entre el primer campeonato ganado en 1934 y el segundo campeonato ganado pasaron 4 años.
3960
+ 4 años transcurridos.
_______
3964 número curioso.
3.- También encontré algo curioso al seguir jugando matemáticamente con otro campeón mundial como lo es Francia que ganó su primer mundial en 1998. Finalista con Italia en la Copa Mundo Alemania 2006, jugado el partido final el 9 de Julio del año 2006.
FRANCIA:
3964 número curioso
-- 2006 Copa Mundo Alemania.
______
1958
+ 40 transcurridos entre el primer Campeonato ganado por Italia ( finalista ) al 2006. ______
1998 ¿ Recuerda este año? Fue Campeón Francia.
Como podrá observar ud, una vez más la matemática
Jugó con los finalistas de la Copa Mundo
Alemania 2006
y
Curiosamente
ITALIA
es
El nuevo CAMPEÓN mundial de Fútbol
FORMAS DE RAZONAMIENTO
ACTIVIDADES DE AUTO EVALUACIÓN EXTRA CLASE.
1.- Ahora le propongo que juegue matemáticamente con el 76923, observe que ocurre si lo multiplicamos por 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12?
2.- Le propongo el número 1176470588235294, busque que ocurre al multiplicarlo por la serie numérica 2,3,4,5,6,7,8?
3.- Juegue una vez más: Multiplique 5291 x 21 =? , ahora ud, como encontraría 222222, 333333, 444444 , 555555 , 666666 , etc.
4.- Siga Jugando: 12345679 x 9 = 111111111 , ahora busque 222222222 , 333333333, etc.
5.- Ayúdeme a buscar el valor de Pi = 3.14 con los siguientes datos: En los pasajes Bíblicos II de Corintios 4 , 2 y I de Reyes 7 . 23 dice que: ¨ Dios creó al mundo en un mar de fundición de bronce, de forma redonda , que media: 10 codos de un extremo a otro, 5 codos de profundidad y además tenía un cordón que lo circundaba con 30 codos.
6.- Al costado de un barco cuelga una escalera de 4 m de largo; los peldaños están a 50 cm uno del otro y el primero está a ras de agua. La marea sube a razón de 50 cm cada hora. ¿Cuando estarán bajo el agua los últimos peldaños?
7.- Tenemos ocho bolas de idéntico tamaño y color, pero una de ellas pesa un poco más, que las otras. Se trata de saber cual es, mediante una balanza y efectuando dos pesadas.
8.- Un ladrillo pesa un kilo más medio ladrillo. ¿ Cuánto pesarán dos ladrillos?
9.- Tengo una vasija de 8 litros llena de vino y otras dos de 3 litros y 5 litros vacías. ¿ Cómo puedo medir 4 litros sin tener otras vasijas?
10.- Dando clases de Lógica Matemática el Master. Roberto Suárez Tagle, entra el Señor Decano y le pregunta: ¿ Cuántos alumnos asisten a clase normalmente? . Entonces el profesor le contestó:
¨ La mitad de mis alumnos tiene preferencia por matemática, una cuarta parte le agrada Ciencias Naturales, una séptima parte le agrada Estudios Sociales, y me restan tres estudiantes.¨ .
Ante esta respuesta, el señor Decano queda desorientado más que antes. ¿ Como le ayudaría Ud, al señor Decano?
11.- Será posible que si a 45 le resta 45 su diferencia también es 45..
12.- Proponga 5 ejercicios o 5 problemas con Sistema Numérico, para Matemática Recreativa.
13.- Proponga 5 ejercicios o 5 problemas con Sistema Geométrico para Matemática Recreativa.
Aporte informático para este Módulo
de mi hija Srta. Fátima Suárez Arguello.
2009 - 2010
RST
EVALUACIÓN
UNIVERSIDAD ESTATAL DE BOLÍVAR
FACULTAD EN CIENCIAS DE LA SALUD
CARRERA INGENIERIA EN GESTION DE RIESGO
TALLER DE EVALUACIÓN PARCIAL
DATOS INFORMATIVOS:
ASIGNATURA : MATEMÁTICA I
CENTRO ACADÉMICO: MATRIZ
ESTUDIANTE: ………………………………………………………
AÑO LECTIVO: 2009 – 2010
ESPECIALIDAD: Carrera Ingeniería en Gestión del Riesgo
DOCENTE: Master. ROBERTO SUÁREZ TAGLE.
FECHA: Guaranda: 2009 – 10 – ---- CALIFICACIÓN : ……………..
CONTENIDOS:
1.- RECUERDE QUÉ ES INTELIGENCIA LÓGICA MATEMÁTICA: ( 1 PUNTOS ):
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2.- EXPLIQUE QUE ES INTELIGENCIA EMOCIONAL ( 1 PUNTOS )
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.- EXPLIQUE QUE ES DISCALCULIA Y CUANDO SE PRESENTA. ( 1 PUNTO )
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4.-.- RECUERDE QUE ES INTELIGENCIA ARTIFICIAL. .. ( 1 PUNT0 ).
.-
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5.- INFERENCIA LÓGICA:
• En el ejercicio propuesto indique cual de las cinco conclusiones que se exponen , completa el Silogismo correctamente... ( 1 PUNTO ):
Patty nació en el año 1970, Alexandra nació en el año 1972. Si Eliana es más joven que Alexandra, entonces sabemos que ……………..
• Patty es mayor que Alexandra y más joven que Eliana..
• Patty es más joven que Alexandra y mayor que Eliana.
Eliana es más joven que Alexandra y que Patty.
• Alexandra es más joven que Patty y mayor que Eliana.
• Alexandra es mayor que Patty y más joven que Eliana.
.
6.- INFERENCIA SIMBÓLICA.
• La inferencia simbólica se apoya ya sea en numerales y letras lo que da lugar a la inferencia numérica. A continuación se presenta un ejercicio. En el los numerales que se presentan en cada cuadro se relacionan entre si al seguir la misma regla. Ahora ud, deduzca la regla y escoja el numeral que va en lugar del signo de interrogación. ( 1 PUNTO )
• 16 ? 2 54 27 3 128 64 4
4 6 8 10 12
7.- En el siguiente ejercicio se le propone una serie de numerales entre los cuales faltan uno o dos numerales. Ahora ud analice la serie y escoja entre los números válidos para la solución que están en parejas , cual de ellos completa la serie. ( 1 PUNTO ).
• 10 60 12 58 15 55 19 …… …….
20 y 50 23 y 52 50 y 21 52 y 22 51 y 24
8.- LE DOY LA SIGUIENTE SERIE NUMÉRICA. AHORA ANALICE DICHA SERIE Y EXPLIQUE DE QUE MANERA ESTÁ CALCULADA DEL 8 AL 63., COMPLETE LAS SERIE QUE FALTAN. ( 1 PUNTO ).
8 9 10 11 12 13 14 15
24 25 27 28 30 31
40 42 43 45 46
56 57 59 60 62
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
9.- SI EL PENSAMIENTO ESPACIAL ES UNA FACULTAD MUY COMPLEJA QUE SE DESARROLLA EN NUESTRO CEREBRO EXPLIQUE QUE FIGURAS OBSERVA EN LA SIGUIENTE ILUSTRACIÓN. ( 1 PUNTO ).
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
10.- SI EL PENSAMIENTO ESPACIAL ES UNA FACULTAD MUY COMPLEJA QUE SE DESARROLLA EN NUESTRO CEREBRO EXPLIQUE QUE FIGURAS OBSERVA EN LA SIGUIENTE ILUSTRACIÓN. ( 1 PUNTO ).
.-
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Master.. Roberto Suárez Tagle
ASESOR DE INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA
UNIVERSIDAD ESTATAL DE BOLÍVAR
FACULTAD EN CIENCIAS DE LA SALUD
CARRERA GESTION DEL RIESGO
TALLER DE EVALUACIÓN PARCIAL
DATOS INFORMATIVOS:
ASIGNATURA. INTRODUCCIÓN A MATEMÁTICA.
CENTRO ACADÉMICO: MATRIZ
ESTUDIANTE: ………………………………………………………
AÑO LECTIVO: 2009 – 2010
ESPECIALIDAD: Ingeniería de Gestión del Riesgo
DOCENTE: Master. ROBERTO SUÁREZ TAGLE.
FECHA: Guaranda : 2009 – 08 – CALIFICACIÓN : ……………..
CONTENIDOS:
1.- RAZONAMIENTO DEDUCTIVO: ( 1 PUNTO ):
Un tren eléctrico viaja de sur a norte por la región Interandina de Ecuador, pero el viento sopla en sentido contrario. Explique detalladamente ¿ en qué dirección se desplaza el humo?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.- RAZONAMIENTO LÓGICO: ( 1 PUNTOS )
¿ Cuántos animales tiene en casa Piedad, si todos son perros menos tres, todos son conejos menos tres, todos son pericos menos tres, y todos son patos menos tres?
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.- RAZONAMIENTO NUMÉRICO ( 1 PUNTO )
En cada línea propuesta hay tres numerales, que con simples operaciones aritméticas tienes que conseguir que el resultado siempre sea seis. Diviértete encontrando la solución.
2 2 2 = 6
5 5 5 = 6
7 7 7 = 6
9 9 9 = 6
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4.-.- ARGUMENTACION LÓGICA .. ( 1 PUNT0 ).
.-Analice cada una de las frases propuestas , ordénalas para que la argumentación sea lógica.
• buen gallinero El cualquier que canta es gallo en
……………………………………………………………………………………………………
• más un pájaro vale volando en mano ciento que un
……………………………………………………………………………………………………
• va al cántaro el pozo tanto que hasta se rompe
……………………………………………………………………………………………………
• hoy no que mañana lo dejes para hacer puedes
……………………………………………………………………………………………………
5.-- SELECCIÓN LÓGICA . ( 1 PUNTO ).
Complete la afirmacion , para lo cual debe utilizar una de las tres propuestas dadas, para que la argumento tenga validez.
• No se puede resolver un ejercicio matemático sino no hay ………………..
a.- Signos de operación: + , - , * , : .
b.- Términos algebraicos.
c.- Cantidades numéricas.
6.- INFERENCIA LÓGICA : SILOGISMO- ( 1 PUNTO ).
Giomar nació en 1970, Alexandra nació en 1972. Si Jeaneth es más joven que Alexandra, entonces sabemos que:
• Giomar es mayor que Alexandra y más joven que .Jeaneth
• Giomar es más joven que Alexandra y mayor que Jeaneth .
• Giomar es más joven que Alexandra y que Jeaneth.
• Alexandra es más joven que Giomar y mayor que Jeaneth.
• Alexandra es mayor que Giomar y más joven que Jeaneth.
7.- INFERENCIA LÓGICA: NUMÉRICA( 1 PUNTO ).
Le doy tres series numéricas , pero en una de ellas aparece el signo de puntuación. Ahora Ud, analice cada serie y luego de razonar, explique el proceso utilizado, seleccione el numeral que reemplazará a la sucesión de puntos..
5 8 16 7 10 20 9 12 ……….
17 , 19 , 21 , 24 , 28
8.- INFRENCIA LÓGICA: MATRIZ DE NÚMEROS. ( 1 PUNTO ).
Se propongo una matriz de números , los mismo que tienen determinada relación entre sí., razone adecuadamente y explique detalladamente las inferencias numéricas que se presentan como también la secuencia numérica respetiva, completando los espacios vacíos.
8 9 11 12 13 15
25 26 27 28 29 30
41 42 43 44 45 46 47
56 57 58 60 61 62 63
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
9.- SI EL PENSAMIENTO ESPACIAL ES UNA FACULTAD MUY COMPLEJA QUE SE DESARROLLA EN NUESTRO CEREBRO EXPLIQUE QUE FIGURAS OBSERVA EN LA SIGUIENTE ILUSTRACIÓN. ( 1 PUNTO ).
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
10.- VALIDEZ DE RAZONAMIENTO. ZONA SOMBREADA. 8 1 PUNTO 9.
Master.. Roberto Suárez Tagle
ASESOR DE LÓGICA MATEMÁTICA
No hay comentarios:
Publicar un comentario