FACULTAD EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
SOCIALES, FILOSÓFICAS Y HUMANÍSTICAS
ESPECIALIDAD EDUCACIÓN BÁSICA
¨
MÓDULO
DE
MATEMÁTICA
APLICADO A LA EDUCACIÓN BÁSICA
CUARTO CICLO
Máster: ROBERTO SUAREZ TAGLE
ASESOR PEDAGÓGICO
1947041619721208
2010 – 05 – 12
UNIVERSIDAD ESTATAL DE BOLÍVAR
FACULTAD EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
SOCIALES, FILOSÓFICAS Y HUMANÍSITICAS
PLAN ACADÉMICO
1.- DATOS GENERALES:
ESCUELA : CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
CARRERA : EDUCACIÓN BÁSICA.
MODALIDAD : SEMI PRESENCIAL
CENTRO : ISABEL DE GODIN
ASIGNATURA : MATEMÁTICA BÁSICA.
No. HORAS SEMANALES : CUATRO.
CICLO : CUARTO
DOCENTE : Máster: Roberto Suárez Tagle.
PERÍODO LECTIVO : 20010 – 2011
2.- OBJETIVOS:
3.1. ORIENTADOS A LA MISIÓN Y VISIÓN DE LA U.E.B.
El futuro profesional de la Especialidad Educación Básica , graduado en la Universidad Estatal de Bolívar, tendrá a su haber académico científico un perfil determinado sobre los siguientes aspectos:
Un profesional formado íntegramente en los sus actividades: Pedagógicas, Científicas, Técnicas y Humanísticas , que impulsen la creatividad y el desarrollo psíquico-cultural de sus educandos.
Será un agente de cambio de la problematización y globalización de la realidad educativa comunitaria, mediante la crítica, reflexión y análisis en el cumplimiento de sus actividades.
Aplicará los conocimientos propios de la Matemática Básica a la especialidad de Educación Básica , programada para el estudio desde Segundo año hasta décimo año , como también hará de la experimentación , mucha utilidad en la elaboración de recursos didáctico que fortalezcan la resolución de problemas y razonamiento lógico – matemático..
Tendrá capacidad de planificación, organización y ejecución de tareas, criterio en la solución de problemas y toma de decisiones, iniciativa, dinamismo, liderazgo y trabajo.
3.2. ORIENTADOS A LA CARRERA.
Propender a dar respuesta a los desafíos que plantea la sociedad actual en procura de entregar profesionales , que mejoren la calidad educativa en Educación Básica.
Formar académica y científicamente al profesional, para el desenvolvimiento como asesor pedagógico del ínter aprendizaje, considerando las características y competencias del desarrollo educativo, acordes con una educación activa.
Desarrollar a través del conocimiento, un profesional apto para la planificación, investigación y diseño curricular en el campo educativo, haciendo énfasis en la relación de la Matemática Básica con las demás áreas de estudio..
Motivar al nuevo profesional en Educación Básica , para que vincule la importancia que tiene la Matemática Básica en los estudios desde Segundo a Décimo año.
3.3. ORIENTADOS A LA ASIGNATURA.
Relacionar los conocimientos básicos de Sistema Numérico en los conocimientos específicos y aplicaciones de fórmulas utilizadas en Educación Básica.
Aplicar los conocimientos de Sistema Geométricos de punto, líneas rectas , curvas, paralelas y espirales , Figuras Geométricas, Cuerpos Geométricos, de acuerdo a los Programación de la Reforma Curricular.
Utilizar los conocimientos básicos de Sistema Internacional de Medidas, en la experimentación y aplicación con los instrumentos adecuados para la medición y cálculos en Figuras Geométricas y Cuerpos Geométricos.
Incentivar la experimentación con la elaboración de Recursos Didácticos en demostraciones de los diferentes modelos de equipos y accesorios a utilizarse en Matemática Básica.
Utilizar los conocimientos básicos de Sistema de Funciones, para que el estudiante tenga nociones y dominio de la teoría de Conjunto.
Aplicar las ideas de Probabilidad para su coreecta utilización en nociones del Sistema Estadístico.
Utilizar técnicas de estudio autónomo para su permanente crecimiento profesional.
Auto evaluar su trabajo como futuro docente, mediante procesos e instrumentos válidos para la concepción pedagógica, matemática, geométrica , que le permitan fortalecer su actitud profesional.
3.- DISTRIBUCIÓN DE CONTENIDOS.
PRIMERA UNIDAD
SISTEMA NUMÉRICO
Introducción.- Sistema de Numeración.- La simbología matemática en las principales culturas: China, Babilonia, Hindú, Arábiga, Egipcia, Maya, Azteca, Inca, Cañari.- Instrumentos de Cálculo,. Sistema de Numeración Binario,. Números Naturales.- Números Enteros positivos y Negativos.- Relación de Orden.- operaciones con enteros negativos.- Números Racionales: Fracciones y Decimales.- Operaciones.- Recursos Didácticos. Actividades Extra clase.- Evaluación sistemática.
SEGUNDA UNIDAD
SISTEMA DE FUNCIONES
Introducción.- Nociones de Conjuntos.- Simbología.- Clasificación de los Conjuntos: Universo, vacío, unitario, finito, infinito .- Formas para determinar un conjunto: Comprensión, Tabulación, Fórmula, Flujo.- Relaciones entre Conjuntos: Disyunción, Tangencia, Intersecancia, igualdad y Contenencia.- Operaciones entre Conjuntos. Unión, Intersección, Diferencia Asimétrica, Diferencia Simétrica, Producto Cartesiano, Complemento, Leyes de Morgan. Recursos Didácticos,. Actividades Extra clase.- Evaluación Sistemática.
TERCERA UNIDAD
SISTEMA GEOMÉTRICO Y DE MEDIDAS
Introducción al Sistema de Medidas.- El Sistema Internacional de Medidas.- Las Magnitudes Básicas.- Definición de Patrones atómicos para las unidades de Longitud, masa y Tiempo.- Introducción al Sistema Geométrico.- Estudio de la Geometría Plana: Punto, línea, clases de líneas. Recta, Curva, Horizontal, vertical, perpendicular, paralelas, inclinadas, quebradas, mixtas, onduladas.- Angulos:Clasificación.- Figuras Geométricas: Triángulos: Clasificación.- Cuadriláteros: .Clasificación.- Circunferencia.- Círculo.- Polígonos regulares.- Polígonos irregulares.- Cálculo de Perímetro y Áreas.- Sólidos Geométricos: Tetraedro regular.- Exaedro regular.- Paralelepípedo.- Cono.- Cilindro.- Prisma.- Pirámide.- Esfera.- Recursos Didácticos.- Actividades Extra clase.- Evaluación Sistemática.
CUARTA UNIDAD
SISTEMA ESTADÍSITICO Y DE PROBABILIDAD
Introducción a la Probabilidad aplicada a Educación Básica.- Introducción a la Estadística aplicada a la Educación Básica.- Variables Cuantitativas.- Variables Cualitativas.- Recolección de datos.- Organización de variables.- Tabulación.- Frecuencias absolutas y acumuladas.- Porcentajes de frecuencias.- Medidas de Tendencia Central.- Gráficos Estadísticos: Puntos, lineales, superficies, circulares, pictogramas, cartogramas. Recursos didácticos.- Actividades Extra clase.- Evaluación Sistemática.
QUINTA UNIDAD
RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO
Introducción al Razonamiento Lógico Matemático.- La Lógica Formal.- La Lógica Simbólica.- La Lógica Matemática.- Inferencia Matemática.- Razonamiento Lógico Visual Espacial.- Razonamiento Lógico en el Sistema Numérico.- Razonamiento Lógico en el Sistema de Funciones.- Razonamiento Lógico en el Sistema Geométrico. Actividades Extra clase.- Evaluación Sistemática.
4.- METODOLOGÍA.
Utilizaré los métodos Activos que recomienda la Didáctica de la MATEMÁTICA, entre ellos Deductivo, Inductivo, Holísitico, Analítico y Experimental. Haciendo énfasis en una Metodología Constructivista, para lograr la participación activa de cada uno de los estudiantes.
5.- EVALUACIÓN:
La Evaluación será Sistemática, continua, sumativa, en cada uno de los encuentros de asesoría presencial y semi presencial, de ahí la importancia de la asistencia a clase de acuerdo a los horarios establecidos, la misma que tiene una puntuación sobre diez puntos. Además se evalúa la actuación en clase sobre diez puntos, de igual manera los trabajos extra clase sobre diez puntos y finalmente tienen un Taller de Evaluación Final sobre diez puntos. Calificaciones que son sumativas y promediadas, para la obtención de la puntuación final.
6.- BIBLIOGRAFÍA .
· Docente.
· Guías de la Reforma Curricular para Educación Básica, elaborada por el Ministerio de Educación y Cultura de Ecuador.
Textos de Educación Básica: Editorial Santillana desde segundo a décimo año de Educación Básica.
· Estudiante .
Módulos elaborado por el Docente. Máster. . Roberto Suárez Tagle.- Guías Didácticas elaboradas por el Docente Máster. Roberto Suárez Tagle.
INTRODUCCIÓN
Apreciados estudiante de la Facultad Ciencias de la Educación, Sociales, Filosóficas y Humanísticas, Especialidad Educación Básica, de la Universidad Estatal de Bolívar, en el presente evento académico, les corresponde recibir asesoría pedagógica relacionada con MATEMÁTICA BÁSICA , la misma que consta dentro del proceso de enseñanza aprendizaje de acuerdo con la Reforma Curricular, como son los cuatro Sistemas: Numérico, Funciones, Geométrico y Estadístico, que deben conocer todos los estudiantes que siguen Licenciatura en Educación Básica y por ser un lenguaje riguroso e Inter. Relacionador, facilita la comprensión y el aprendizaje de la Matemática y de las demás ciencias. De esta manera a más de evitar ambigüedades en el Lenguaje Común, contribuye al desarrollo de destrezas propias del pensamiento lógico formal, por medio de procesos matemáticos.
Pero es importante destacar que se da un hecho histórico innegable, en razón de que la mayoría de los Profesores de Matemática en Educación Básica no son matemáticos, pero resulta de que los maestros se ven obligados a improvisar o memorizar contenidos y temas determinados, la cual resulta deficiente, incompleto, para explicar con la metodología adecuada. Por eso comienzan a preocuparse por cuestiones lógicas y que se encuentra un cierto parecido con los libros de Matemática propios para Educación Básica. Pero la analogía entre ambas radica en la precisión, en la exactitud, en evitar toda vaguedad o ambigüedad.En verdad el hombre, con las facultades imaginativas, poco o nada puede hacer sin símbolos y en el presente programa de estudio trataremos el estudio de los cuatro Sistemas ya descrito.
Finalmente es importante que los futuros maestros en general y principalmente del área de Matemática, incursionen siempre con actualizaciones para desarrollar en los educandos el pensamiento lógico y la inteligencia asociativa y deductiva, ya que aprender es practicar.
Entonces apreciados colegas educadores, maestros – estudiantes de la Universidad Estatal de Bolívar, ampliemos en nuestros estudiantes la capacidad de pensamiento deductivo, ya que muchas respuestas de la Matemática son en realidad recreativas Recreativa , a veces no dependen de sus conocimientos previos ni de su memoria, sino únicamente que resultan del uso de pensar lógicamente, apoyándose firmemente en la Lógica y razonamiento matemático.
Afectuosamente.
Master. Roberto Suárez Tagle.
DOCENTE UNIVERSITARIO.
MASTER EN DOCENCIA UNIVERSITARIA
E INVESTIGACIÓN EDUCATIVA.
1
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL.
Lograr que los estudiantes de la Universidad Estatal de Bolívar, Facultad Ciencias de la Educación, al finalizar los Encuentros de Asesoría Académica con la Asignatura de Matemática Básica , estén en capacidad de buscar alternativas válidas, que ofrezcan una vía de solución correcta en los diferentes problemas de razonamiento deductivo, utilizando los Cuatro Sistemas que recomienda la Reforma Curricular.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Utilizar razonamiento deductivo para el desarrollo de la mente del estudiante de Educación Básica.
Resolver juegos matemáticos donde las respuestas no dependan de conocimientos previos.
Analizar e Interpretar resultados mediante el desarrollo del pensamiento.
Introducir a los estudiantes una vez a la semana a la Matemática Recreativa.
Aplicar la capacidad de pensamiento deductivo a los cuatro sistemas propuestos en la Reforma Curricular: Numérico, Funciones, Geométrico – Medidas y Estadístico – Probabilidades.
2
METODOLOGÍA GENERAL DEL TRABAJO Y EVALUACIÓN
MÉTODOS Y TÉCNICAS EN LA RED DE ASESORÍA.
MÉTODOS.
Para lograr el éxito del auto aprendizaje en la modalidad presencial en la Asignatura de Matemática Básica, aplicada a la Educación Básica, se utilizarán métodos didácticos activos, analíticos, de investigación y deductivos.
TÉCNICAS:
Para implementar la metodología a utilizar, se aplicarán técnicas activas con formas específicas para el cumplimiento de un procedimiento didáctico de acción a partir de la información suministrada a los estudiantes, mediante la investigación, taller, dinámica grupal, donde el uso del razonamiento sea la parte esencial del trabajo.
FORMAS Y TÉCNICAS DE EVALUACIÓN.
Por ser la Evaluación Educativa un proceso sistemático, continuo y coherente en el proceso de Enseñanza Aprendizaje, esta será sistemática, formativa y sumativa en cada encuentro, razón por la cual es importante 100 % su asistencia a clase, ya que con límite de faltas a la Red de Asesoría, el maestro – estudiante, prácticamente queda fuera del evento académico y por lo tanto reprueba el Módulo de Matemática Básica .
La Evaluación individual y grupal serán de 10 puntos, de igual manera se evaluarán trabajos extra curriculares sobre 10 puntos , Taller experimental con recursos didácticos sobre 10 puntos, pruebas escritas cada dos encuentros sobre 10 puntos y su examen final en el último encuentro será sobre 10 puntos, mediante una prueba escrita individual, lo que le acreditará un total de 50 puntos, que promediados serán de 10 puntos.
Sin embargo ud, aprobará la Asignatura con la calificación mínima de 7 puntos.
3
DESARROLLO DE CONTENIDOS
PRIMERA UNIDAD
SISTEMA NUMÉRICO
Introducción al Sistema Numérico: Sistema de Numeración.: Numeración China, Griega, Babilónica, Romana, Egipcia, Hindú, Arábiga, Azteca, Maya, Inca, Cañari.- Instrumentos para cálculo.- Números Naturales.- Números Enteros positivos y negativos.- Operaciones Básicas.- . Relación de orden.- Números Racionales (Fraccionarios y decimales ), Números Irracionales.- Recursos Didácticos y Máquinas para calcular.- Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación
SEGUNDA UNIDAD
SISTEMA DE FUNCIONES
Introducción al Sistema de Funciones: Noción de Conjuntos.- Clases de Conjuntos: Vacío, Unitario, Finito, Infinito,. Universo.- Formas para determinar un conjunto: Comprensión, Tabulación, Fórmula, Flujo.- Relaciones entre Conjuntos: Disyunción, tangencia, intersecancia, igualdad , contenencia.- Diagramas de Euler – Venn.- Operaciones entre conjuntos: Unión, Intersección, Diferencia Asimétrica, Diferencia Simétrica, Complemento de conjuntos.- Formas de Razonamiento: Actividades de Auto Evaluación Extra Clase.
TERCERA UNIDAD
SISTEMA GEOMÉTRICO Y DE MEDIDAS
Introducción al Sistema de Medidas.- Patrones atómicos para las unidades de acuerdo al S.I.- Introducción al Sistema Geométrico.- Noción de punto, línea, ángulos, Figuras Planas: Triángulos, cuadriláteros, polígonos, circunferencia, círculo,- Cuerpos Geométricos: Tetraedro regular, exaedro regular, cono, prisma, pirámide, esfera, - resolución de problemas de aplicación. - Formas de Razonamiento: Actividades de Auto Evaluación Extra Clase.
CUARTA UNIDAD
SISTEMA ESTADÍSTICO Y DE POROBABILIDAD
Introducción a la Probabilidad.- La Probabilidad en la Educación Básica .- Actividades a manera de juego para experimentar la probabilidad.- Introducción al Sistema Estadístico, El Sistema Estadístico en la Educación Básica.- - Simbología Estadística.- clases de variables estadísticas.- Cuadro de distribución de frecuencias.- Medidas de tendencia central.- Medidas de Posición.- Gráficos Estadísticos.- Análisis e interpretación de resultados.- Formas de Razonamiento.- Actividades de Auto evaluación extracurricular.
QUINTA UNIDAD
RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO
Introducción al Razonamiento Lógico Matemático.- La Lógica Formal.- La Lógica Simbólica.- La Lógica Matemática.- Inferencia Matemática.- Razonamiento Lógico Visual Espacial.- Razonamiento Lógico en el Sistema Numérico.- Razonamiento Lógico en el Sistema de Funciones.- Razonamiento Lógico en el Sistema Geométrico. Actividades Extra clase.- Evaluación Sistemática.
SEXTA UNIDAD
MATEMÁTICA RECREATIVA
Matemática la Reina de las Ciencias.- Números y Magnitudes.- Curiosidades Matemáticas: Sistema Numérico, Sistema de Funciones.- Sistema Geométrico y de Medidas, Sistema Estadístico y de Probabilidad.- Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación .- Actividades Extra clase.
DESARROLLO DE CONTENIDOS
4.-
PRIMERA UNIDAD
SISTEMA NUMÉRICO
Introducción al Sistema Numérico: Sistema de Numeración.: Numeración China, Griega, Babilónica, Romana, Egipcia, Hindú, Arábiga, Azteca, Maya, Inca, Cañari.- Instrumentos para cálculo.-Números Naturales.- Números Enteros positivos y negativos.- Operaciones Básicas.- . Relación de orden.- Números Racionales (Fraccionarios y decimales ), Números Irracionales.- Recursos Didácticos y Máquinas para calcular.- Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación
DESARROLLO
INTRODUCCIÓN AL SISTEMA DE NUMERACIÓN:
SISTEMA DE NUMERACIÓN
Cualquier sistema consta fundamentalmente de una serie de elementos que lo conforman, una serie de reglas que permite establecer operaciones y relaciones entre tales elementos. Por ello, puede decirse que un sistema de numeración es el conjunto de elementos (símbolos o números), operaciones y relaciones que por intermedio de reglas propias permite establecer el papel de tales relaciones y operaciones.
Los hombres desde la antigüedad, supieron asociar tempranamente a una colección de objetos un grupo de signos o de cosas: trazos marcados en la madera, en un hueso o en la arena, montones de piedras, gestos con la mano o con la cabeza, etc. Así, los pastores sumerios llevaban la cuenta de los nacimientos, pérdidas, compras y ventas de sus ovejas representando cada animal del rebaño mediante un cono de arcilla (calculi) colocado en una envoltura de arcilla.
La economía, más compleja, de las primeras aglomeraciones urbanas de la Baja Mesopotamia eligió un sistema más elaborado: se imprimieron sobre la envoltura de arcilla signos que representaban los mismos signos que los calculi. Estos últimos, que ya no tenían razón de ser, fueron poco a poco suprimidos, y las envolturas reemplazadas por las primeras tablillas, numerales. Por tanto, las primeras numeraciones escritas aparecieron al mismo tiempo que las primeras formas de escritura, en Mesopotamia hacia 3300 a. J. C. y en Egipto hacia 3200 a. J. C.
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De esta manera ya el hombre primitivo tuvo una clara idea de lo que es número y lo que es numeral, de tal manera que número es sencillamente la idea de la cantidad de objetos, mientras que numeral en realidad son los símbolos que en cada cultura en hombre utilizó para representar la idea de cantidad, siendo estos últimos , los numerales muy diferentes en las diferentes culturas, a excepción de la cultura de los Incas y los Cañarís que no utilizaban símbolos para representar las cantidades, ya que ellos utilizaban instrumentos primitivos para nuestra época, pero para su tiempo, muy avanzadas instrumentos de cálculo, tales como el Quipus y la Taptana respectivamente.
NUMERACION CHINA.
Los chinos tenían un sistema de numeración muy semejante al nuestro, lo que los hizo muy buenos y rápidos en los cálculos.
Perfeccionaron una herramienta que se cree egipcia (aunque también se le atribuye su invento a los propios chinos) para calcular. Hoy en día la seguimos utilizando: el ábaco.
La numeración china inicial formaba parte de la escritura Shang y desde sus comienzos adoptó una serie de características precisas:
- Era un sistema de carácter decimal.- Disponía de nueve signos distintos para los nueve primeros números, careciendo durante todo el período estudiado de un signo específico para el cero.- Utilizaba el criterio posicional (cada cifra tiene un valor dado por su posición en el número) pero de forma híbrida: En la dinastía Shang intercalando un signo especial para dicho valor y, posteriormente, cambiando la orientación de las cifras alternativamente.- Los signos utilizados actualmente y derivados de los originales son los siguientes:
Un número durante la dinastía Shang se formaba combinando los nueve primeros signos con los cuatro últimos, correspondientes a las potencias de diez. Así, el número 65.372 se escribiría
Se escribe el número 5.625 en chino
SISTEMA DE NUMERACIÓN GRIEGO.
El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.
Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente
De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen.
Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.
EL SISTEMA DE NUMERACIÓN BABILÓNICO
Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el ssss A.C. se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores.
Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo.
De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.
A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan
SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO
Los Símbolos Numéricos Romanos
Los primeros símbolos numéricos de los romanos fueron independientes de las letras del alfabeto y tomaron las formas siguientes:
Para escribir los números, los romanos usaron el principio aditivo, sumando los valores representados por cada cifra.
VI=6 XII=12 LI=51 CXV=115
También usaron el principio substractivo: Todo signo numérico, escrito a la izquierda de otro de mayor valor, se resta:
IV=4 IL= 49 XC= 90
Desde la época imperial hasta la edad Media, una barra horizontal colocada sobre una cifra romana multiplicaba su valor por mil.
El sistema de números romanos carece del 0 por lo que se convierte en un sistema muy complicado al querer realizar multiplicaciones y divisiones. Este sistema de numeración, ha caído en desuso y sólo se lo usa con fines decorativos (relojes, estatuas, monumentos) y cierto protocolo (para numerar: los siglos, los papas, los reyes y reinas, etc.).
Las reglas para escribir los números son:
1- Un símbolo no se puede repetir más de tres veces seguidas
2- Si un símbolo de valor inferior, antecede a otro de valor superior, el primer símbolo resta su valor, al valor del símbolo de la derecha.
3- Una raya encima de un símbolo, multiplica por mil el valor del símbolo. Dos rayas encima de un símbolo multiplica por un millón el valor del símbolo.
NUMERACIÓN EGIPCIA
Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema de escribir los números en base diez utilizando los geroglíficos de la figura para representar los distintos ordenes de unidades.Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.
Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los geroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban. En la figura aparece el 276 tal y como figura en una estela en Karnak.
En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y así se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.
A continuación se presentan una serie de jeroglíficos especiales que representaban cantidades entre uno y el millón.
EL SISTEMA DE NUMERACIÓN HINDÚ
En el Arabhatiya, texto del siglo VI que trata sobre astronomía y trigonometría esférica, nos encontramos con el sistema decimal posicional. Tiene nueve cifras distintas, para los nueve primeros números, que sirven también para los nueve primeros múltiplos de diez del sistema Brahmi. El símbolo para el 0 aparece en el siglo IX.
Con la introducción del símbolo para el 0 de la numeración hindú tenemos el sistema de numeración que actualmente usamos y que no consiste más que en:
una base decimal
una notación posicional
una forma cifrada para cada uno de los diez numerales básicos
La suma y la multiplicación se hacían en la India casi como las hacemos hoy, salvo porque la escritura de los números se hacía con los de orden menor a la izquierda.
Veamos un ejemplo de su forma de multiplicar, que se llama multiplicación de celosía o de celdilla.
Multiplicaremos 456 x 34 = 15.504.
LOS SÍMBOLOS NUMÉRICOS ARÁBIGO-INDUES
Los numerales indús que en algunos casos se hallan estrechamente relacionados con los nuestros, fueron llevados a Bagdad, en Irak, hace unos mil trescientos años, son los siguientes:
Observarán que el cero es simplemente un punto, y que el cinco es exactamente igual a nuestro cero.
NUMERACIÓN AZTECA
Para los aztecas la forma de contar consistía en representar a la unidad
mediante un punto; con una raya se agrupan los puntos de cinco en cinco.
En cada posición o bloque se encontraban hasta 20 y con la ayuda de
una bandera, el cabello o la bolsa colocados a la izquierda se agrupaban
cantidades mayores. El triangulo con cabello representa tantos como 20 £ 20 = 400, la bolsa representa 20 £ 20 £ 20 = 8 000. La unidad se puede
representar también con un dedo.
Para encontrar el número representado primero se multiplica el numero
de figuras de un mismo tipo por el valor correspondiente a la posición que
ocupan y en seguida se suman los resultados.
. Su sistema de conteo fue evolucionando poco a poco, agrupando estos puntos mediante el empleo de rayas y utilizando símbolos de objetos muy usados para representar
cantidades mayores. Estos símbolos fueron la bandera, el puñado de
cabellos que cabían en la mano y la bolsa que representaba el numero de
granos de maíz que contenía; todos ellos objetos concretos.
Por otro lado, quien maneja el sistema vigesimal aumenta su poder de
abstracción, y fue este hecho el que les permitió a los aztecas desarrollar
una ciencia astronómica que aún en nuestros días es considerada realmente
impresionante.
El sistema de numeración azteca contiene los siguientes elementos:
NUMERACION MAYA
Los mayas llegaron a establecer uno de los imperios más notables sistemas de numeración mediante la utilización de tres signos, tales como el punto, guión, y óvalo, siendo un sistema de base veinte y cuya base se refiere al hombre, porque tiene veinte dedos.
El punto maya (. ) significa que es la cabeza del hombre siendo sus valor numérico uno.
El guión maya (-) significa las extremidades y su valor equivalente a cinco.
El óvalo maya ( ) significa el ojo del hombre y su valor numérico es cero.
En la numeración maya se hace uso de la posición para el valor relativo, de ahí que tenemos unidades, veintenas, etc.
SISTEMA DE NUMERACION INCA
Los incas tenían un sistema de contabilidad que se basaba en el quipu. Cordeles de varios colores eran prendidos a un cordel principal con nudos. El número y la posición de los nudos así como también el color de cada cordel representaba información sobre mercancías y otros recursos. Quipu significa nudo en quechua, el idioma que hablaban los nativos de los Andes.
El quipu también era utilizado para censos y proveía gran información estadística para el gobierno.
Mensajeros podían transportar un quipu de Quito a Cuzco en 3 días, menos tiempo del que a veces lleva en automóvil.
En realidad, todavía no sabemos exactamente como se utiliza el quipu. El significado de los nudos y los colores se mantiene en el misterio.
Probablemente tú podrías descubrirlo.
Estos son algunos de los quipus en existencia
Quipukamayuq con su quipu y una yupana, los principales instrumentos que usaron los incas en matemáticas. En el campo de la matemática los incas destacaron principalmente por su capacidad de cálculo en el ámbito económico. Los quipus y yupanas fueron señal de la importancia que tuvo la matemática en la administración incaica. Esto dotó a los incas de una aritmética sencilla pero efectiva, para fines contables, basada en el sistema decimal; desconocieron el cero, pero dominaron la suma, la resta, la multiplicación y la división.
Por otra parte, la construcción de caminos, canales y monumentos, así como el trazado de ciudades y fortalezas, exigió el desarrollo de una geometría práctica, que fue indispensable para la medición de longitudes y superficies, además del diseño arquitectónico. A la par desarrollaron importantes sistemas de medición de longitud y capacidad, los cuales tomaban el cuerpo humano como referencia.
Representación de un quipu, instrumento de contabilidad y nemotécnico inca.
Se tiene noción que en el Imperio Inca el sistema de numeración imperante era el decimal. Una de las principales referencias que confirman esto son las crónicas que presentan una jerarquía de autoridades organizadas decimalmente.
Encargado
Cantidad de familias
Puriq
1 familia
Pichqa kamayuq
5 familias
Chunka kamayuq
10 familias
Pichqa chunka kamayuq
50 familias
Pachaka kamayuq
100 familias
Pichqa pachaka kamayuq
500 familias
Waranqa kamayuq
1.000 familias
Pichqa waranqa kamayuq
5.000 familias
Hunu kamayuq
10.000 familias
También se puede confirmar el uso del sistema decimal en el incario, por medio de la interpretación de los quipus, que están organizados de modo que los nudos de acuerdo a su ubicación pueden representar: unidades, decenas, centenas, etc.[1]
Sin embargo, la principal confirmación de este sistema, se expresa en la denominación de los números en quechua, en que los números van desarrollándose de manera decimal, como se puede apreciar en el siguiente cuadro (el quechua usado es el estándar del Cusco):
Números
Quechua
Números
Quechua
Números
Quechua
1
Huk
11
Chunka hukniyuq
30
Kimsa chunka
2
Iskay
12
Chunka iskayniyuq
40
Tawa chunka
3
Kimsa
13
Chunka kimsayuq
50
Pisqa chunka
4
Tawa
14
Chunka tawayuq
60
Suqta chunka
5
Pisqa
15
Chunka pisqayuq
70
Qanchis chunka
6
Suqta
16
Chunka suqtayuq
80
Pusaq chunka
7
Qanchis
17
Chunka qanchisniyuq
90
Isqun chunka
8
Pusaq
18
Chunka pusaqniyuq
100
Pachak
9
Isqun
19
Chunka isqunniyuq
1.000
Waranqa
10
Chunka
20
Iskay chunka
1.000.000
Hunu
Quipus incaicos, elementos fundamentales en la administración y contabilidad del Imperio Inca.
Los quipus constituyeron un sistema nemotécnico basado en cuerdas anudadas, mediante las cuales se registraban todo tipo de información cuantitativa o cualitativa; si se trataban de resultados de operaciones matemáticas, sólo se anudaban las realizadas anteriormente en los "ábacos incas" o yupanas. Si bien una de sus funciones se relaciona con la matemática al ser un instrumento capaz de contabilizar, también era utilizado para guardar información de noticias censales, de montos de productos y de subsistencias conservadas en los depósitos estatales.[2] [3] Incluso hay quienes mencionan a los quipus como instrumentos donde los incas dejaban (de un modo diferente al escrito) sus tradiciones e historia.
Diversos cronistas mencionan adicionalmente el uso de quipus para guardar noticias históricas,[4] sin embargo, aún no se ha descubierto aún como funcionaba este sistema. En el Tahuantinsuyo, era personal especializado el manejaba las cuerdas, se le conocía como quipucamayoc y podía llegar a tener a su cargo las cuerdas de toda una región o suyu. Si bien la tradición esta perdiéndose, los quipus continúan usándose como instrumentos mnemotécnicos en algunos poblados indígenas donde sirven para registrar los productos de las cosechas y los animales de las comunidades.[5]
Yupanas
Yupana, conocida también como "ábaco inca". Su potencial de contabilidad es aún muy discutido.
En el caso de la información numérica, las operaciones matemáticas eran realizadas previamente en los ábacos o yupanas. Estos podían ser de piedra tallada o de barro, tenían casilleros o compartimentos que correspondían a las unidades decimales y se contaba o señalaba con la ayuda de piedrecitas o granos de maíz o quinua. Se podían indicar unidades, decenas, centenas, etc. de acuerdo a si estaban implícitas en cada operación.
Investigaciones recientes en relación a los yupanas sugieren que eran capaces de calcular cifras considerables basándose en un sistema probablemente no decimal,[6] sino basados en relación al número 40. De ser cierto, es curioso notar la coincidencia entre la progresión geométrica conseguida en el yupana y los actuales sistemas de procesamiento;[7] por otro lado también resulta contradictorio el hecho de basar su sistema de contabilidad en el número 40, de seguir las investigaciones y confirmarse este hecho, habría que comparar su uso con el sistema decimal, que según la tradición histórica e investigaciones anteriores, era el que usaban los incas.[8]
NUMERACIÓN CAÑARI:
Los Cañarís al igual que los Incas no utilizaban símbolos para representar cantidades, sino que utilizaban una especie de calculadora, la misma que fue encontrada recientemente en el sector de Sigsig y Chordelec en la actual provincia del Cañar, la misma que fue llamada Taptana, que significa contador indígena. Usada actualmente en la enseñanza intercultural bilingüe, a la izquierda usted puede ver la pieza arqueológica original. La Taptana se encuentra en la Reserva Arqueológica del Banco Central del Ecuador.
Características del Material:
Es un contador utilizado en los primeros años de Educación Básica, es de madera de forma rectangular, ovalada en un extremo, con 4 columnas de 9 hoyos cada una, en la parte superior existe un hoyo de mayor tamaño al mismo que lo denominamos "0" es el lugar en donde se cambia 10 unidades por una decena; 10 decenas por una centena, etc.; de derecha a izquierda, la primera columna (color verde) corresponde a las unidades, la segunda columna ( color azul) a las decenas, la tercera columna (color rojo) corresponde a las centenas y la cuarta columna (color amarillo) corresponde a las unidades de mil.
I
MAQUINAS PARA CALCULAR
Desde tiempos inmemoriales el hombre a inventado mecanismos para realizar cálculos matemáticos, con el transcurrir del tiempo se han construido maquinas sofisticadas como las computadoras.
Transcurrieron 1300 años antes de que se inventase algún dispositivo vinculado al cálculo y es sólo entre los siglos XIV al XIX que se suceden una serie de eventos e importantes aportes, tal como veremos a continuación.
. JOHN NAPIER aporto con un método para multiplicar y dividir usando varillas y placas metálicas que puesto en la práctica se convirtió en la precursora de las modernas calculadoras de bolsillo de hoy día, pese a que este rústico sistema era inseguro debido a que las varillas no podían ser manejadas con versatibilidad. Este invento irónicamente conocido como los "huesos de Napier".
PASCAL en 1649 gracias a un decreto real obtuvo el monopolio para la fabricación y producción de su máquina de calcular conocida como la PASCALINA que realizaba operaciones de hasta 8 dígitos
GOTTFRIET en 1676 publicó su "Nuevo Método para lo Máximo y Mínimo", una exposición de cálculo diferencial. Fue filósofo, matemático y logístico. En 1670, Leibniz mejora la máquina inventada por Blaise Pascal, al agregarle capacidades de multiplicación, división y raíz cúbica.
Charles Baddge inventa dos calculadoras llamada la Máquina Diferencial era un dispositivo de 6 dígitos que resolvía ecuaciones polinómicas por el método diferencial. La segunda, denominada Máquina Analítica para ejecutar programs de tabulación o computación;
Byron, es considerada la primera programadora de la era de la computación, ya que fué ella quien se hizo cargo del análisis y desarrollo de todo el trabajo del inventor y la programación de los cálculos a procesarse.
EL ÁBACO.
Un ábaco es un objeto que sirve para facilitar cálculos sencillos (sumas, restas y multiplicaciones). Normalmente, consiste en cierto número de cuentas engarzadas en varillas, cada una de las cuales indica una cifra del número que se representa. Este elemento sirve mucho a los niños para aprender las operaciones básicas por lo que es muy usado en niveles básicos
Es un instrumento de cálculo que utiliza cuentas que se deslizan a lo largo de una serie de alambres o barras de metal fijadas a un marco para representar las unidades, decenas, centenas, etc. Probablemente de origen babilónico, es el precursor de la calculadora digital moderna. Utilizado por mercaderes en la Edad Media a través de toda Europa y el mundo árabe, fue reemplazado en forma gradual por la aritmética basada en los números indoárabes. Aunque poco usado en Europa después del siglo XVIII, todavía se emplea en Medio Oriente, China, Japón y Corea.
El término "ábaco" es una palabra existente en varios idiomas, con diversos posibles orígenes etimológicos discutidos. En latín se empleaba el término abacus / abaci (plural). En la lengua griega griego abax o abakon, que significa "superficie plana" o "tabla". Otro
EL QUIPU
El quipu (quechua: khipu, 'nudo' )? fue un sistema Nemotécnico de cuerdas de lana o algodón y nudos de uno o varios colores desarrollado en los Andes. Si bien se sabe que fue usado como un sistema de contabilidad por los funcionarios del Imperio Inca, se estudia su posible uso como una forma de escritura, a partir de la teoría del Ingeniero William Burns Glynn.
Pues los utilizaban los quipu kamayoc (khipu kamayuq), que eran los sabios del imperio incaico.
Se han hallado quipus en Caral, la ciudad más antigua de América, como también en los centros de la cultura Wari.
El quipu consta de una cuerda principal, sin nudos, de la cual penden otras generalmente anudadas y de diversos colores, formas y tamaños -llamadas cuerdas colgantes-. Puede haber cuerdas sin nudos, como también cuerdas que no se desprenden de la principal sino de la secundaria (cuerdas secundarias). Los especialistas contemporáneos piensan que los colores y quizá la forma de trenzado de las cuerdas indican los objetos, mientras que los nudos harían referencia a las cantidades, incluyendo el número cero.
YUPANAS
Yupana, conocida también como "ábaco inca". Su potencial de contabilidad es aún muy discutido.
En el caso de la información numérica, las operaciones matemáticas eran realizadas previamente en los ábacos o yupanas. Estos podían ser de piedra tallada o de barro, tenían casilleros o compartimentos que correspondían a las unidades decimales y se contaba o señalaba con la ayuda de piedrecitas o granos de maíz o quinua. Se podían indicar unidades, decenas, centenas, etc. de acuerdo a si estaban implícitas en cada operación.
Investigaciones recientes en relación a los yupanas sugieren que eran capaces de calcular cifras considerables basándose en un sistema probablemente no decimal,[6] sino basados en relación al número 40. De ser cierto, es curioso notar la coincidencia entre la progresión geométrica conseguida en el yupana y los actuales sistemas de procesamiento;[7] por otro lado también resulta contradictorio el hecho de basar su sistema de contabilidad en el número 40, de seguir las investigaciones y confirmarse este hecho, habría que comparar su uso con el sistema decimal, que según la tradición histórica e investigaciones anteriores, era el que usaban los incas.[8]
LA TAPTANA:
Es un contador utilizado en los primeros años de Educación Básica, es de madera de forma rectangular, ovalada en un extremo, con 4 columnas de 9 hoyos cada una, en la parte superior existe un hoyo de mayor tamaño al mismo que lo denomina ovalada en un extremo, con 4 columnas de 9 hoyos cada una, en la parte superior existe un hoyo de mayor tamaño al mismo que lo denominamos "0" es el lugar en donde se cambia 10 unidades por una decena; 10 decenas por una centena, etc.; de derecha a izquierda, la primera columna (color verde) corresponde a las unidades, la segunda columna ( color azul) a las decenas, la tercera columna (color rojo) corresponde a las centenas y la cuarta columna (color amarillo) corresponde a las unidades de mil.
I
PASCALINA :
Es una de las primeras calculadoras mecánicas. Fue inventada por Blaise Pascal en 1645, tras tres años de trabajo sobre la misma. Se fabricaron varias versiones y Pascal en persona construyó al menos cincuenta ejemplares.
El primer uso de la Pascalina fue en la Hacienda francesa, debido a que Pascal diseñó la Pascalina para ayudar a su padre, que era contador en dicha entidad. Debido a ello la Pascalina estaba destinada básicamente a solucionar problemas de aritmética comercial.
En 1670 el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz perfeccionó esta máquina e inventó una que también podía multiplicar.
La Pascalina conoció un período de gloria en los años 1960, debido a que se usó de forma interna en la compañía IBM. Por aquellos tiempos era el único dispositivo barato que permitía efectuar muy rápidamente cálculos en numeración hexadecimal, lo que era necesario para la depuración de los programas.
MAQUINA DE LEIBNIZ
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 1716) mejoró la máquina de Pascal (aunque en rigor de la verdad, utilizó un modelo desarrollado por Sir Samuel Morland (c. 1625 30/12/1695) alrededor de 1666. La máquina de Leibniz de 1673 superaba a la Pascalina en el empleo de cilindros de paso para reemplazar los dígitos de 1 a 9.
Esta máquina sumaba, restaba, multiplicaba y dividía automáticamente, y se componía de tres tipos de ruedas: las de la suma, las del multiplicando y las del multiplicador. Para realizar las operaciones de forma rápida, Leibniz empleó lo que llamó «la rueda escalonada».
Debido a las limitaciones ténicas de la época, esta máquina no se pudo comercializar hasta 1810, año en que Charles Xavier Thomas la fabricó en cantidad.
La máquina de Leibniz fue la precursora de las calculadoras: en 1875 se patentó en Estados Unidos la «rueda Odhner» y en 1878, el español Ramón Verea García inventa una calculadora que multiplicaba directamente y no por reiteración, como la de Leibniz.
Aunque, la primera calculadora de producción masiva se distribuyó, empezando en 1820, por Charles Thomas de Colmar. Originalmente se les vendió a casas del seguro Parisienses, el "aritmómetro" de Colmar operaba usando una variación de la rueda de Leibniz. Más de mil aritmómetro se vendieron y eventualmente recibió una medalla a la Exhibición Internacional en Londres en 1862.
MARK I
El Harvard Mark I o Mark I fue el primer ordenador electromecánico construido en la Universidad de Harvard por Howard H. Aiken en 1944, con la subvención de IBM. Tenía 760,000 ruedas y 800 kilómetros de cable y se basaba en la máquina analítica de Charles Babbage.
El computador Mark I empleaba señales electromagnéticas para mover las partes mecánicas. Esta máquina era lenta (tomaba de 3 a 5 segundos por cálculo) e inflexible (la secuencia de cálculos no se podía cambiar); pero ejecutaba operaciones matemáticas básicas y cálculos complejos de ecuaciones sobre el movimiento parabólico de proyectiles.
Funcionaba con relés, se programaba con interruptores y leía los datos de cintas de papel perforado. El inicio de la construcción de esta máquina fue en 1939 con la unión de IBM con Howard H. Aiken. El proyecto se terminó en 1943, presentándose oficialmente en 1944. En un principio fue bautizada con el nombre de ASCC (Calculadora Automática de Secuencias Controladas), aunque finalmente fue llamada Mark I.
Cuando fue puesta en pleno funcionamiento en 1944 se usó para el cálculo de tablas de balística durante el final de la Segunda Guerra Mundial. Fue entonces cuando Aiken contó con la colaboración de un personaje importante en la historia de la informática: Grace Murray Hopper. A pesar de que era una computadora más lenta en comparación con las coexistentes con ella, como la ENIAC, se usó hasta 1959, año en el que se la desmanteló, dejando partes en la universidad de Harvard y partes en el Instituto SmithSonian en Washington.
La Mark I marcó el inicio del involucramiento de IBM en el diseño de computadoras de propósito general.
La Mark I era una máquina digna de admirar, pues sus longitudes eran grandiosas, medía unos 15,5 metros de largo, unos 2,40 metros de alto y unos 60 centímetros de ancho, pesaba aproximadamente unas cinco toneladas. Pero lo más impresionante fueron unas cubiertas de cristal que dejaban que se admirara toda la maquinaria de su interior.
La Mark I recibía sus secuencias de instrucciones (programas) y sus datos a través de lectoras de cinta perforada de papel y los números se transferían de un registro a otro por medio de señales eléctricas. Tal vez por eso no deba sorprendernos que a pesar de medir sólo 15 metros de largo, el cableado interno de la Mark I tenía una longitud de más de 800 kilómetros, con más de tres millones de conexiones. Los resultados producidos se imprimían usando máquinas de escribir eléctricas o perforadoras de tarjetas, en la más pura tradición de IBM. Aunque tenía componentes electromecánicos era una máquina automática eléctrica. Era capaz de realizar 5 operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división y referencia a resultados anteriores). Su interior estaba compuesto por 750.000 piezas de diferentes variedades (ruedas rotatorias para los registros, relevadores…).
Estaba compuesta de más de 1.400 interruptores rotatorios de diez posiciones en el frente de la máquina para visualizar los valores de los registros constantes que se le introducían. Pero además de los registros constantes la máquina contenía 72 registros mecánicos. Cada unos de los registros mecánicos era capaz de almacenar 23 dígitos, los dígitos que se usaban para el signo era un 0 para signo positivo y un 9 para el signo negativo.
La posición del punto decimal estaba fija durante la solución de un problema, pero podía ajustarse previamente de manera que estuviera entre dos dígitos cualquiera.La máquina contaba también con mecanismos que permitían efectuar cálculos de doble precisión (46 decimales), mediante la unión de dos registros, en una forma análoga a la Máquina Analítica de Babbage.
La Mark I era una máquina impresionante, pues medía unos 15.5 metros de largo, unos 2.40 metros de alto y unos 60 centímetros de ancho , pesando unas cinco toneladas. Su funcionamiento era electromecánico y su interior estaba compuesto de unas 750,000 piezas diferentes, entre relevadores, tardaba aproximadamente 0.3 segundos en transferir un número de un registro a otro y en para el más y nueve para el menos; para
realizar cada una de sus otras operaciones básicas: sumar, restar, poner a cero un registro, etc. Para efectuar multiplicaciones, divisiones, y calcular valores específicos de algunas funciones, la máquina usaba unidades aritméticas especiales, aunque estás solían evitarse al máximo posible debido a su lentitud.
Después de la guerra, la Mark I fue utilizada principalmente para calcular tablas de las funciones de Bessel . La Mark I marcó el inicio del involucramiento de IBM en el diseño de computadoras de
propósito general
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LA REGLA DE CÁLCULO .
.
La regla de cálculo es un instrumento de cálculo analógico que facilita la realización rápida y cómoda de operaciones aritméticas complicadas, como puedan ser multiplicaciones, divisiones, etc. A cambio de ello, no ofrece más que una precisión limitada. Su época de esplendor duró más o menos un siglo, el comprendido entre la segunda mitad del siglo XIX y el último cuarto del XX, aunque había sido inventada mucho antes. La regla de cálculo fue suplantada por las calculadoras y los ordenadores electrónicos conforme fueron avanzando los últimos decenios del siglo XX.
Precisión.- Lo esencial del instrumento son las escalas numéricas, unas fijas y otras móviles, mediante las que se realizan las operaciones. La precisión que pueda conseguirse de un aparato determinado depende de la longitud que en él tengan estas escalas, pues viene limitada por las estimaciones de valores que pueda realizar quien lo utilice, proceso consustancial al método y al que se denomina interpolación visual o a la vista.
Se han construido reglas de muy diversos tamaños, lo que en principio podría parecer arbitrario, pero no lo es; si el trabajo a realizar es delicado, deberá utilizarse la regla más larga posible. Por ejemplo, para conseguir una precisión de una parte en 10.000 la escala ha de tener una longitud de 12 m (como sucede en el modelo cilíndrico de Fuller, fabricado a partir de 1878). Los tamaños habituales no superan las tres cifras significativas en manos experimentadas, pues la última ya será casi siempre estimada.
Naturalmente lo anterior presupone que las marcas de las escalas están hechas con absoluta precisión sobre las reglas.
Esto es una suposición razonable en los ejemplares actuales, en concreto en los comercialmente disponibles a partir de comienzos del siglo XX, en que empezaron a aplicarse técnicas mecánicas precisas de fabricación, pero no lo es en absoluto para los precedentes, cuyas escalas estaban realizadas individualmente o con técnicas deficientes, por lo que muchos de ellos resultaban bastante alejados de la perfección. Esta fue otra razón importante para la lentitud con que se extendió su uso.
Se ha manifestado la opinión que la limitada precisión de la regla de cálculo es una ventaja y no un inconveniente cuando se trata de aplicaciones prácticas, pues los datos disponibles sobre los que versa el cálculo no suelen superar las tres cifras significativas. Se evita así con ella el espejismo de la falsa precisión, al que pueden inducir las calculadoras electrónicas si no se utilizan prudentemente.
CALCULADORAS ELÉCTRICAS
El avance vertiginoso de la electrónica, permitió el uso de los circuitos impresos, a tal punto que dispone de las afamadas calculadoras electrónicas, máquinas súper veloces para calcular toda clase de operaciones científicas en pocas décimas de segundo, por lo que dependiendo de la marca y características, cada una de ellas tiene sus propios programas computarizados y técnicas diseñadas, para lo cual se requiere un entretenimiento especial para lograr su manejo.
Estas calculadoras son pequeñas, unas muy pequeñas de bolsillo y están provista de una pantalla de cristal de cuarzo, utilizan pilas muy pequeñas, que duran por lo general un año.
CALCULADORAS ELECTRÓNICAS
Las primeras calculadoras eran dispositivos de escritorio mecánicos, que fueron reemplazados por aparatos electromecánicos, luego por modelos electrónicos usando válvulas termoiónicas, después transistores y más tarde circuitos electrónicos. Actualmente la mayoría de calculadores son dispositivos microelectrónicos de mano.
Configuración básica.- La complejidad de las calculadoras cambia según su finalidad. Una calculadora moderna simple suele constar de las siguientes partes:
Una fuente de energía, como una pila, un panel solar o ambos.
Una pantalla, normalmente LED o LCD, capaz de mostrar cierto número de dígitos (habitualmente 8 o 10).
§ La circuitería electrónica.
§ Un teclado formado por:
§ Los diez dígitos, del 0 al 9;
§ La coma decimal;
§ El signo igual, para obtener el resultado;
§ Las cuatro operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división);
§ Un botón «cancelar» para eliminar el cálculo en curso;
§ Botones de encendido y apagado;
§ Otras funciones básicas, como la raíz cuadrada y el porcentaje (%).
§ Los modelos más avanzados pueden contar con memoria para un solo número, que puede recuperarse cuando se necesita.
Desde finales de los años 1980 las calculadores simples han sido incorporadas a otros dispositivos de mano, como teléfonos móviles, buscapersonas y relojes de pulsera. Estos últimos fueron popularizados por el Dr. James Buccanon, presidente de la Universidad de Pensilvania.
El desarrollo de las calculadoras electrónicas [editar]Las primeras computadoras mainframe, usando inicialmente válvulas de vacío y luego transistores en sus circuitos lógicos, aparecieron a finales de los años 1940 y 1950. Esta tecnología supondría un obstáculo en el desarrollo de las calculadoras electrónicas.
En 1954 IBM presentó en los Estados Unidos una gran calculadora fabricada con transistores y, en 1957, la compañía lanzó la primera calculadora «comercial» de este tipo, la IBM 608, que ocupaba varios armarios y costaba unos 80.000$.[3]
La Casio Computer Co. de Japón lanzó el Modelo 14-A en 1957, considerada la primera calculadora «compacta» totalmente eléctrica del mundo. No usaba lógica electrónica sino que se basaba en relés y era construida dentro de un escritorio.
En octubre de 1961 se anunció la primera calculadora de escritorio totalmente electrónica del mundo, la Bell Punch/Sumlock Comptometer ANITA (A New Inspiration To Arithmetic/Accounting, ‘una nueva inspiración para la aritmética/contabilidad’).[4] [5] Esta máquina diseñada y construida en Gran Bretaña usaba tubos de vacío, tubos de cátodo frío y decatrones en su circuitería, y tenía doce tubos de cátodo frío de tipo Nixie para mostrar los resultados. Se presentaron dos modelos: el Mk VII para la Europa continental y el Mk VIII para Gran Bretaña y el resto del mundo, comercializados ambos a principios de 1962. El Mk VII era un diseño ligeramente anterior con un modo de multiplicación más complicado y pronto fue abandonado en favor de la versión más simple Mk VIII. La ANITA tenía un teclado completo, parecido a los comptómetros mecánicos de la época, una característica presente entre los calculadores electrónicos sólo en este modelo y en el Sharp CS-10A posterior. Bell Punch había fabricado calculadoras mecánicas del tipo comptómetro bajo los nombres Plus y Sumlock, y se había dado cuenta a mediados de los años 1950 que el futuro de las calculadoras estaba en la electrónica. Contrataron al joven graduado Norbert Kitz, que había trabajado en pionero proyecto británico de computador Pilot ACE, para dirigir el desarrollo. La ANITA se vendió bien al ser la única calculadora de escritorio electrónica disponible, siendo además silenciosa y rápida.
La tecnología de tubos de la ANITA fue superada en junio de 1963 por el Friden EC-130 estadounidense, que tenía un diseño basado en transistores, capacidad para mostrar 13 dígitos en una pantalla CRT de 5 pulgadas e introdujo la notación polaca inversa en el mercado de las calculadoras por un precio de 2.200$, aproximadamente el triple del coste de una calculadora electromecánica de la época. Como Bell Punch, Friden era un fabricante de calculadoras mecánicas que había decidido que el futuro estaba en la electrónica. En 1964 se presentaron más calculadoras totalmente electrónicas: Sharp presentó la CS-10A, que pesaba 25 kg y costaba 500.000 yenes (unos 2.500$ de la época), y la italiana Industria Macchine Elettroniche presentó la IME 84, a la que podían conectársele varios teclados y pantallas extras, de forma que pudieran usarla varias personas (pero aparentemente no a la vez).
A los anteriores siguió una serie de modelos de calculadoras electrónicas de eos y otro fabricantes, incluyendo Canon, Mathatronics, Olivetti, SCM (Smith-Corona-Marchant), Sony, Toshiba y Wang. Las primeras calculadoras usaban cientos de transistores de germanio, debido a que eran más baratos que los de silicio, en múltiples placas de circuitos. Los tipos de pantallas usados eran CRT, tubos Nixie de cátodo frío y lámparas incandescentes. Para el almacenamiento solía emplearse la memoria de línea de retardo o la memoria de toros, si bien la Toshiba Toscal BC-1411 parece haber usado una forma primitiva de RAM dinámica construida a partir de componentes discretos. Ya entonces existía demanda de máquinas más pequeñas y de menor consumo eléctrico.
La calculadora programable Monroe Epic salió al mercado en 1967. Compuesta por una unidad grande de escritorio con impresora y una torre lógica de suelo conectada a ésta, era capaz de ser programada para realizar muchas funciones típicas de una computadora. Sin embargo, la única instrucción de flujo que tenía era un salto incondicional implícito (GOTO) al final de una pila de operación, devolviendo el programa a su instrucción inicial. Por ello, no era posible incluir ninguna lógica de salto condicional. En esta época, la ausencia de salto condicional se usaba a veces para distinguir una calculadora programable de un ordenador.
NÚMEROS NATURALES
Son los que sirven para contar los elementos de los conjuntos: N = {0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11, 12,…}
Hay infinitos. Se pueden sumar y multiplicar y con ambas operaciones el resultado es, en todos los casos, un número natural. Sin embargo, no siempre pueden restarse ni dividirse (ni 3 - 7 ni 7 : 4 son números naturales).
NÚMEROS ENTEROS
Son los naturales y los correspondientes negativos: Z = {…, -11, -10, -9,…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…, 9, 10, 11,…}
Además de sumarse y multiplicarse en todos los casos, pueden restarse, por lo que esta estructura mejora a la de los naturales. Sin embargo, en general, dos números enteros no se pueden dividir. Por eso se pasa a la siguiente estructura numérica.
NÚMEROS RACIONALES
Son los que se pueden expresar como cociente de dos números enteros. El conjunto Q de los números racionales está compuesto por los números enteros y por los fraccionarios. Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esas operaciones entre dos números racionales es siempre otro número racional.
A diferencia de los naturales y de los enteros, los números racionales no están colocados de manera que se puedan ordenar de uno en uno. Es decir, no existe “el siguiente” de un número racional, pues entre dos números racionales cualesquiera hay otros infinitos, de modo que si se representan sobre una recta, ésta queda densamente ocupada por ellos: si tomamos un trozo de recta, un segmento, por pequeño que sea, contiene infinitos números racionales. Sin embargo, entre medias de estos números densamente situados sobre la recta existen también otros infinitos puntos que no están ocupados por racionales. Son los números irracionales.
NÚMEROS REALES
El conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales es el de los números reales, de modo que todos los números mencionados hasta ahora (naturales, enteros, racionales, irracionales) son reales. Estos números ocupan la recta numérica punto a punto, por lo que se llama recta real.
Entre los números reales están definidas las mismas operaciones que entre los racionales (suma, resta, multiplicación y división, salvo por cero).
NÚMEROS IMAGINARIOS
El producto de un número real por sí mismo es siempre 0 o positivo, por lo que la ecuación x2 = -1 no tiene solución en el sistema de los números reales. Si se quiere dar un valor a la x, tal que x = Á, éste no puede ser un valor real, no ya en sentido matemático sino tampoco en sentido técnico. Un nuevo conjunto de números (diferente del de los números reales), el de los números imaginarios, se usa para este fin. El símbolo i representa la unidad de los números imaginarios y equivale a Á. Estos números permiten encontrar, por ejemplo, la solución de la ecuación , que se puede escribir como x = 3 × i o x = 3i
Los números bi, b ≠ 0, se llaman imaginarios puros.
Un número imaginario se obtiene al sumar un número real y un número imaginario puro.
NÚMEROS COMPLEJOS
En su forma general, un número complejo se representa como a + bi, donde a y b son números reales. El conjunto de los números complejos está formado por todos los número reales y todos los imaginarios.
Los números complejos se suelen representar en el llamado diagrama de Argand. Las partes real e imaginaria de un número complejo se colocan como puntos en dos líneas perpendiculares o ejes. De esta manera, un número complejo se representa como un punto único en un plano, conocido como plano complejo.
Los números complejos son de gran utilidad en la teoría de la corriente eléctrica alterna así como en otras ramas de la física, en ingeniería y en ciencias naturales.
FORMAS DE RAZONAMIENTO:
ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN.
SEGUNDA UNIDAD
INTRODUCCION A LA TEORIA DE CONJUNTOS
Definición de conjuntos, Subconjuntos, Clasificación de los conjuntos: vacio, unitario, finito, infinito, universo.- Diagramas de Euler Venn.- Formas para determinar un conjunto.-Relaciones entre conjuntos: Disyunción, Tangencia, Intersecancía, Igualdad, Contenencia.- Operaciones entre conjuntos: Unión, Intersección, Diferencia Asimétrica, Diferencia Simétrica, Producto Cartesiano, Complemento.-
DESARROLLO
Definición de conjuntos.
Se llama conjunto a la reunión o agrupación de elementos bien definidos.
Ejemplos:
A = Los estudiantes de cuarto ciclo, especialidad de
Informática Educativa de la Universidad Estatal de Bolívar
U
Los estudiantes de cuarto ciclo, especialidad de Informática de la U.E.B.
B= Los pasajeros de la unidad No 4 de Transportes Flota Bolívar
U
Los pasajeros de la unidad No 4 de Transportes Flota Bolívar.
Subconjunto
Son conjuntos pequeños o conjuntos menores de un conjunto dado.
Ejemplos:
U
A1= Janeth, Mercedes, Martha, Carmen, Luisa, Mariana , Ximena, Zenaida
Janeth, Mercedes, Martha, Carmen, Luisa, Mariana, Ximena, Zenaida
A2= Ramón, César, Mario, Napo, Xavier
U
Ramón, César, Mario, Napo, Xavier
CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS
Conjunto vacio
Es aquel conjunto cuyas características en sus elementos no son reales.
U
Niños con tres cabezasD= Niños con tres cabezas
U
Un ser humano con tronco de persona con cuerpo de caballoS= Un ser humano con tronco de persona con cuerpo de caballo
U
Un ser con cuerpo de humano y cabeza de toroO= Un ser con cuerpo de humano y cabeza de toro
La luna del planeta tierraConjunto Unitario.- Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
A=
U
La luna del planeta tierra
Los satélites naturales de MarteConjunto Finito.- Es aquel conjunto que limitada cantidad de elementos.
A=
U
Los satélites naturales de Marte
Las estrellas del firmamentoConjunto Infinito.- Es aquel conjunto que ilimitada cantidad de elementos.
A=
U
Las estrellas del firmamento
Los estudiantes del 4to Ciclo de Informática y el Asesor Pedagógico.Conjunto Universo.- Es aquel conjunto que tiene todos los elementos posibles.
X=
U
Los estudiantes del 4to Ciclo de Informática y el Asesor Pedagógico.
FORMAS PARA DETERMINAR UN CONJUNTO
COMPRENSIÓN.-
Un conjunto está escrito por compresión cuando se enuncian sus características de una manera general.
Integrantes de la Familia Cayambe GordilloEjemplo.
R=
TABULACIÓN.-
Un conjunto está escrito por tabulación cuando se identifican cada uno de sus elementos.
Janeth, Darwin, Cristian, Carolina, JeffersonEjemplo
R=
FORMULA.-
x/x Є Familia Cayambe GordilloUn conjunto está escrito por formula cuando utiliza símbolos matemáticos.
R =
FLUJO.-
Un conjunto está escrito en la forma de flujo, cuando se utiliza un diagrama conceptual.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
RELACIÓN DISYUNCIÓN.
Dos conjuntos son disyuntos si sus elementos son distintos.
Janeth, Mercedes, Martha, Carmen, Luisa, Mariana, Ximena, Zenaida
M =
Ramón, César; Mariana, Napo, Xavier
H =
U M H
Janeth, Mercedes,
Martha, Carmen,
Luisa, Mariana,
Ximena, Zenaida
Ramón, César; Mariana, Napo, Xavier
TERCERA UNIDAD
SISTEMA GEOMÉTRICO Y DE MEDIDAS
Teoría de las Inteligencias.- Desarrollo de las inteligencias humanas.- Inteligencia Asociativa.-Inteligencia Deductiva.- Test de Inteligencia Lógico - Matemática.- Discalculia.- Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación extracurricular.
DESARROLLO
GEOMETRIA INTUITIVA DE LOS EGIPCIOS
La geometría se origina en las antiguas civilizaciones egipcias y babilónicas como genuina ciencia experimental sobre la base de requerimientos de la Arquitectura, la Astronomía y, particularmente, de las mediciones de las tierras que frecuentemente se hacían necesarias después de las crecidas periódicas de los grandes ríos. Los resultados se daban a conocer sin fundamentación, como "recetas".
La geometría tal y como la conocemos actualmente nació en Egipto. Sus conocimientos geométricos eran considerables. Sin dichos conocimientos no habrían podido construir las pirámides o medir tierras, etc... La geometría egipcia junto a la babilónica fue la precursora de la potente geometría griega.
Encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi ∏ (3,14....).
Dominaban perfectamente los triángulos gracias a los anudadores. Los anudadores egipcios hacían nudos igualmente espaciados que servían para medir; fueron los primeros en observar que uniendo con forma de triángulo, cuerdas de ciertas longitudes se obtienen un ángulo recto, también conseguían mediante estos nudos triángulos rectángulos.
La operación de extender la cuerda para realizar el cuadrado era el acto más sagrado que existía. Se han encontrado dibujos que lo demuestran.
Así pues, las asociaciones que se le asignaban al “Triángulo sagrado”, madre del rectángulo, eran impresionantes. Más que una figura geométrica el triángulo rectángulo de proporciones 3, 4, 5 era un principio de la naturaleza. Era símbolo de todo proceso dinámico, de la figura geométrica más perfecta y daba la posibilidad de crear las demás.
Entre las fórmulas que tenían para medir áreas, se pueden citar las de superficie del cuadrado (a partir del triángulo), del rectángulo, del rombo y del trapecio. En cuanto al área del círculo utilizaron una fórmula que daba a pi ∏ un valor bastante aproximado.
La geometría egipcia no tuvo partes teóricas sino que fue puramente empírica.
LA GRAN PIRÁMIDE“
El hombre teme al tiempo, pero el tiempo teme a las pirámides”(proverbio árabe)La frase se pronunció el 21 de julio de 1798, durante la batalla que enfrentaría a las tropas francesas y a los mamelucos. Napoleón dijo a sus soldados una famosísima frase ¡Cuarenta siglo os contemplan!. El general se refería, naturalmente, ala edad de la más grande de las tres pirámides de la meseta de Giza, alas afueras de El Cairo. La única de las 7 maravillas del mundo que sigue en pie. Más de doscientos años después, los egiptólogos están casi convencidos de que la fecha que dio Napoleón es correcta. La Gran Pirámide de Giza, un monumento que originalmente superó los 146 metros de altura.(como un edificio de 40 plantas) fue levantado en tiempos del faraón Keops , de la IV dinastía, hacía el 2500 a.c. Pero no todos están de acuerdo en esa cronología. En el siglo 25 antes de nuestra Era, sin ruedas ni poleas, ni grúas, o máquinas de ninguna clase, un grupo indeterminado de obreros movió la friolera cantidad de más dedos millones de bloques de pesos comprendidos entre los 2,5 y las 60toneladas. Sin brújula (no existía)orientaron sus cuatro paredes hacía los cuatro puntos cardinal es con una precisión pasmosa; sin hierro practicaron agujeros que parecen hechos con un taladro en los que al examinar las muescas se ve que cada vuelta de torno profundizaban en el granito hasta doscientas veces más que lo lograríamos nosotros hoy con un taladro de punta de diamante; y sin instrumentos ópticos orientaron algunos canales internos hacia la posición que ocupaban las estrellas como Sirio, Zeta, Orión y Alfa del Dragón, muy importantes dentro del contexto religioso egipcio. Esos y otros detalles evidencian que los constructores de la Gran Pirámide poseían unos conocimientos científicos que los expertos dudan en conceder a los egipcios. La falta de pruebas sobre la autoría de este monumento, en el que no se han encontrado grandes descripciones con el nombre del faraón que las mandó construir, ha dejado el terreno abierto a la especulación A atlantes, extraterrestres… sin pruebas. Realmente tratándose de la Gran Pirámide no hay pruebas de casi nada.
Por raro que parezca nunca se a encontrado una momia dentro de una pirámide. Cuando se ha encontrado el ajuar funerario, no había cuerpo, e incluso se ha localizado alguna cámara sepulcral intacta en una pirámide, pero el sarcófago siempre estaba vació. Algunos expertos creen que las pirámides nunca sirvieron como tumbas, sino como templos iniciativos. Se apoyan en anomalías tales como que el faraón Snefru (padre de Keops) se construyó tres pirámides ¿Para que necesita tantas pirámides? ¿se va a dividir en trocitos para enterarse? En 1994, un ingeniero angloegipcio, Robert Bauval, propuso una ideal magnifica. Se dio cuenta que lastres grandes pirámides de la meseta de Giza estaban distribuidas sobre el desierto al igual que las tres estrellas del “cinturón” de la constelación de Orión. Estudiando los jeroglíficos de las pirámides, Bauval descubrió, que para los antiguos egipcios Orión era el equivalente celestial del Dios Osiris y si “cinturón” era lo que los egipcios llamaban el Duat, una especie de “puerta” por la que el alma del faraón debía pasar para llegar al más allá. Los últimos estudios demuestran que, las pirámides eran una especie de “máquinas astronómicas”.¿Dónde aprendieron los egipcios todo lo que sabían sobre astronomía y matemáticas? No olvidemos descubrimientos como el que hizo en el siglo pasado Jonh Taylor, al demostrar que el perímetro de la pirámide dividido entre el doble de su altura es 3,1416… el número Pi ∏. Pero, según nos enseñaron en el colegio, Pi ∏ lo descubrieron los griegos siglos más tarde.¿como sabían todo ello? Esa es una pregunta que mucha gente se hace, ¿algún día lo descubriremos?
GEOMETRIA DEMOSTRATIVA DE LOS GRIEGOS
Geometría antes de los griegos [editar]Es razonable pensar que los primeros orígenes de la Geometría se encuentran en los mismos orígenes de la humanidad, pues seguramente el hombre primitivo clasificaba -aun de manera inconsciente- los objetos que le rodeaban según su forma. En la abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento -informal e intuitivo- a la Geometría. La ornamentación esquemática abstracta de vasos, cerámica y ciertos utensilios así lo parecen confirmar.
Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geométricos de carácter muy práctico. Estos son esencialmente algunas fórmulas -o mejor dicho algoritmos expresados en forma de "receta"- para calcular áreas y longitudes. La finalidad era práctica, pues se pretendía con ello calcular la producción proporcional de las parcelas de tierra para determinar los impuestos, o reconstruir las parcelas de tierra después de las inundaciones. Siempre se ha dicho que los egipcios tenían una alta formación matemática, y se ha llegado a insinuar que tuvieran un acervo de conocimientos secretos o que se hubieran perdido con el paso de los tiempos. Estas hipótesis nunca han sido confirmadas, y los documentos existentes tienden a echarlas por tierra. La Historia nos hace pensar que el conocimiento que esta civilización -así como los de las culturas mesopotámicas- tuviera sobre Geometría pasó íntegramente a la cultura griega a través de Tales de Mileto, los pitagóricos, y esencialmente de Euclides.
La Geometría griega antes de Euclides [editar]En efecto, Tales permaneció en Egipto una larga temporada de su vida, aprendiendo de los sacerdotes y escribas egipcios todo lo referente a sus conocimientos en general, y estos quedaron asombrados cuando fue capaz de medir la altura de la Pirámide de Keops y de predecir un eclipse solar.
La Geometría Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y mesopotámicas, y da un paso de abstracción al considerar los objetos como entes ideales -un cuadrado cualquiera, en lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo...- que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de la regla y el compás. Aparece por primera vez la demostración como justificación de la veracidad de un conocimiento, aunque en un primer momento fueran más justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales.
La figura de Pitágoras y de la secta por él creada (los pitagóricos) tiene un papel central, pues eleva a la categoría de elemento primigenio el concepto de número (filosofía que de forma más explícita o más implícita, siempre ha estado dentro de la Matemática y de la Física), arrastrando a la Geometría al centro de su doctrina -en este momento inicial de la historia de la Matemática aun no hay una distinción clara entre Geometría y Aritmética-, y asienta definitivamente el concepto de demostración (éste ya sí coincide con el concepto de demostración formal) como única vía de establecimiento de la verdad en Geometría.
Esta actitud permitió (aun fuera de la secta) la medición del radio de la tierra por Eratóstenes, así como la medición de la distancia a la luna, y la invención de la palanca por Arquímedes, varios siglos después.
En el seno de la secta de los pitagóricos surge la primera crisis de la Matemática: la aparición de los inconmensurables, pero esta crisis es de carácter más aritmético que geométrico.
Surge entonces un pequeño problema a nivel lógico, que consiste en lo siguiente: una demostración parte de una o varias hipótesis para obtener un resultado denominado tesis. La veracidad de la tesis dependerá de la validez del razonamiento con el que se ha extraído (esto será estudiado por Aristóteles al crear la Lógica) y de la veracidad de las hipótesis. Pero entonces debemos partir de hipótesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poder determinar la veracidad de las hipótesis, habrá que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipótesis deberemos también comprobar. Se entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, las hipótesis se convierten en tesis a probar.
Euclides y "Los Elementos"
Fragmento del Papiro Oxyrhynchus con unas lineas de Los Elementos de EuclidesEuclides, vinculado al Museo de Alejandría y a su Biblioteca, zanja la cuestión al proponer un sistema de estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas proposiciones por ser intuitivamente claras, y deducir de ellas todos los demás resultados. Su sistema se sintetiza en su obra cumbre, "Los Elementos", modelo de sistema axiomático-deductivo. Sobre tan sólo cinco postulados y las definiciones que precisa construye toda la Geometría y la Aritmética conocidas hasta el momento. Su obra, en 13 volúmenes, perdurará como única verdad geométrica hasta entrado el siglo XIX.
Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto postulado) que trae problemas desde el principio. Su veracidad está fuera de toda duda, pero tal y como aparece expresado en la obra, muchos consideran que seguramente puede deducirse del resto de postulados. Durante los siguientes siglos, uno de los principales problemas de la Geometría será determinar si el V postulado es o no independiente de los otros 4, es decir, si es necesario considerarlo como un postulado o es un teorema, es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tanto colocarse entre el resto de resultados de la obra.
Después de Euclides.- Euclides casi cierra definitivamente la Geometría griega - y por extensión la del mundo antiguo y medieval-, a excepción de las figuras de Arquímedes y Apolonio.
Arquímedes estudió ampliamente las secciones cónicas, introduciendo en la Geometría las primeras curvas que no eran ni rectas ni circunferencias, aparte de su famoso cálculo del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono.
Esquema de las cuatro secciones cónicas.
Apolonio trabajó en varias construcciones de tangencias entre círculos, así como en secciones cónicas y otras curvas.
Los tres problemas de la Antigüedad.- La Geometría griega es incapaz de resolver tres famosos problemas que heredarán los matemáticos posteriores. Es importante observar que los tres problemas deben ser resueltos utilizando únicamente la regla y el compás, únicos instrumentos (además del papel y el lápiz, por supuesto) válidos en la Geometría de Euclides. Además de los tres problemas, la disputa de si el V postulado era o no un teorema (de si se podía o no deducir de los otros cuatro) también se considera uno de los problemas clásicos de la Geometría griega. Estos tres problemas son los siguientes:
La duplicación el cubo.- Cuenta la leyenda que una terrible peste asolaba la ciudad de Atenas, hasta el punto de llevar a la muerte a Pericles. Una embajada de la ciudad fue al oráculo de Delos, consagrado a Apolo (en ciertas fuentes aparece el oráculo de Delfos, en lugar del de Delos, también consagrado a Apolo), para consultar qué se debía hacer para erradicar la mortal enfermedad. Tras consultar al Oráculo, la respuesta fue que se debía duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla de Delos. El altar tenía una peculiaridad: su forma cúbica. Prontamente, los atenienses construyeron un altar cúbico cuyos lados eran el doble de las del altar de Delos, pero la peste no cesó, se volvió más mortífera. Consultado de nuevo, el oráculo advirtió a los atenienses que el altar no era el doble de grande, sino 8 veces mayor, puesto que el volumen del cubo es el cubo de su lado ((2l)3 = 23l3 = 8l3). Nadie supo cómo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de otro cubo dado, y el problema matemático persistió durante siglos (no así la enfermedad).
La trisección del ángulo [editar]Este problema consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres ángulos iguales, empleando únicamente la regla y el compás, de manera que la suma de las medidas de los nuevos tres ángulos sea exactamente la medida del primero. Dadas las condiciones nadie ha logrado hacerlo.
La cuadratura del círculo.- La cuadratura del círculo consiste en tratar de obtener, dado un círculo, un cuadrado cuya área mide exactamente lo mismo que el área del círculo. Anaxágoras fue el primero en intentar resolverlo, dibujando en las paredes de su celda cuando fue hecho prisionero por explicar diversos fenómenos que los griegos atribuían a los dioses. Tampoco pudo ser resuelto por los geómetras de la antigüedad, y llegó a ser el paradigma de lo imposible. Como curiosidad, el filósofo inglés David Hume llegó a escribir un libro con supuestos métodos para resolver el problema. Hume no tenía conocimientos matemáticos serios, y nunca aceptó que todos sus métodos fallaban.
Pitágoras: c²=a²+b²
Una muestra notable del poder predictivo de las matemáticas es que en la época de los griegos, ya fueron capaces de calcular el diámetro de la tierra “sin haberse movido de su escritorio” por la simple medición de una sombra. Esa es para mi una de las muestras más asombrosas del poder que se obtiene al formalizar una teoría matemática, en este caso el Teorema de Pitágoras, uno de los descubrimientos más útiles en la historia de la ciencia.
El Teorema de Pitágoras c²=a²+b², permite conocer uno de los lados de un triángulo rectángulo cuando se conocen los otros dos. Nada muy impresionante en apariencia pero con una multitud de consecuencias para la ciencia y la vida diaria. Con la teoría que se desarrolló en base al Teorema de Pitágoras, la trigonometría (trigo=triángulo, metría=mediciones), es posible resolver la mayoría de los problemas físico geométricos en un espacio de dos dimensiones y con pequeñas modificaciones (la trigonometría esférica) se pueden resolver los problemas en tres dimensiones o sea todo el espacio que podemos percibir con nuestros sentidos: ancho, alto y largo.
Una simple observación intuitiva, práctica, al ser formalmente desarrollada permite describir y predecir la mayoría de los problemas físicos, reales que podemos percibir con nuestra experiencia sensorial. La geometría plana, del espacio y la esférica, junto con la geometría analítica (es decir los métodos del álgebra aplicados a los problemas geométricos) nos entregan una herramienta de un poder inmenso para predecir acontecimientos futuros: la trayectoria de un proyectil, el movimiento de cualquier cuerpo, medidas de área, volumen y superficie, etc.
CUARTA UNIDAD
SISTEMA ESTADÍSTICO
Variables. - Clasificación.- Serie Simple y Compuesta.- Recolección de datos.- Organización de datos.- Tabulación.-frecuencias.- Porcentajes.- Medidas de Tendencia Central.- Gráficos estadísticos.
DESARROLLO
ORGANIZACIÓN DE DATOS.
La organización de datos es la actividad que realiza un equipo investigador luego de que ha tabulado la recolección de dato, entonces procede a organizarlos de acuerdo a su importancia sin son datos cualitativos o de acuerdo a su puntuación si son datos cuantitativos. Ejemplo.
Calificaciones obtenidas por un grupo de estudiantes de Educación Básica en el área de Matemática.
7 10 9 8 7 6 4 5 8 9 10 10 8 ,9 7 8 9 8 9 9 8 10 10 10
X
10
9
8
7
6
5
4
SERIE SIMPLE.
En un cuadro de distribución de frecuencias estadística constituye una sola columna numérica para una variable cuando la muestra con que se trabaja es por lo menos de 30 datos.
X
f
10
6
9
20
8
4
SERIE COMPUESTA.
En un cuadro de distribución de frecuencias se han formado dos columnas numéricas en razón de que 1 la muestra superan los 30 datos.
X
f
18 - 20
4
15 - 17
14
12 - 14
19
9 - 11
6
6 -
8
6
3 -
5
1
AMPLITUD.
La Amplitud o Rango constituye la diferencia entre el valor de la variable mayor con la variable menor, su 1Om111la es la siguiente:
A = XM - X m
NÚMERO DE INTERVALOS.
Constituye la cantidad de intervalos agrupados en fila en la columna de variables, cuando la muestra a superado los 30 datos. Se los pueden calcular por cualquiera de las siguientes fórmulas:
Ni + 1 Ni = 1+ 3.3 lóg. N
ANCHO DE INTERVALO.
Es un valor arbitrario e impar que selecciona el investigador para intervalo, estos valores pueden ser: determinar el ancho de un
i =
PUNTO MEDIO.
El punto medio o marca de clase es la semi suma de las dos variables de cada serie compuesta. Su fórmula es la siguiente:
PM=
TABULACIÓN.
La tabulación es la identificación de cada una de las variables organizadas en una serie estadística sea esta simple o compuesta. Se los marca mediante pequeñas barras.
X
T
10
/ / /
9
/ / / /
8
/ /
X
T
18 -
20
/ / / /
15 -
17
/ / / / / /
12 -
14
/ / /
FRECUENCIA ABSOLUTA:
La frecuencia absoluta constituye las veces en que se repite una variable. su símbolo es “f”
FRECUENCIACUMIJLADA.
Es la Suma de las frecuencias absolutas .Su símbolo es “fa”
FRECUENCIA RELATIVA.
Es la razón entre cada frecuencia absoluta para el total de la muestra. fr. =
CUADRO DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS CON VARIABLES CUANTITATIVAS.
CANDIDATOS
RECUENTO
Cecilia
Jenny
Mercedes
Nel1y
Patty
Raquel
/ / / / / / / / /
/ / / / / /
/ / / / / /
/ / /
TOTAL
CUADRO DE DISTRUBUCION DE FRECUENCIAS CON VARIABLES CUANTITATIVAS
VARIABLES DISCRETAS CON SERIE SIMPLE
X
T
f
fa
fr
% f
% fa
f.X
VARIABLES DISCRETAS CON SERIE COMPUESTAS
X
T
f
fa
fr
% f
% fa
f.X
18 - 20
-
-
-
-
-
-
-
-
VARIABLES CONTINUAS CON SERIE COMPUESTAS
X
T
f
fa
fr
% f
% fa
f.X
17.5 - 195
-
-
-
-
-
-
PORCENTAJE DE FRECUIENCIAS ABSOLUTA
% f =
PORCENTAJE DE FRECUIENCIAS ABSOLUTA
% f a=
ANALISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS.
El Análisis de un procesamiento estadístico de un cuadro de distribución de frecuencias, nos permite determinar novedades encontradas como resultado de los cálculos matemáticos y estadísticos, ya sea en las frecuencias, porcentajes de frecuencias, valores que luego nos permiten hacer una interpretación de los mismos, en base al criterio del investigador, lo que nos permitirá a su vez hacer recomendaciones.
APLICACIÓN DE LA ESTADÍSITICA O SISTEMA ESTADÍSTICO Y DE PROBABILIDAD DESDE CUARTO A DÉCIMO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA.
Una vez que el maestro - alumno de la Universidad Estatal de Bolívar ha concluido esta primera unidad didáctica relacionada con el Sistema Estadístico, habrá recordado conocimientos o en otros casos habrá conocido por primera vez esta importante parte de la matemática y en base a las guías metodológicas de la Reforma Curricular para el área de Matemática, podrá enseñar a sus alumnos de Educación Básica desde Cuarto a Décimo A110, mediante la utilización de variables cualitativas en unos casos o mediante variables cuantitativas en otros, lo que le permitirá al estudiante hacer pequeñas investigaciones o también sacar conclusiones relacionada con su rendimiento, rendimiento del grado, edades de sus compañeros, estaturas de sus compañeros, etc. Como también estarán en capacidad de resolver pequeños ejercicios y problemas relacionados con la probabilidad como motivación al juego matemático con monedas, dados, cartas, etc.
DEFINICIÓN DE GRAFICOS ESTADÍSTICOS.
Se llaman Gráficos Estadísticos a todo dibujo geométrico, geográfico o artístico que diseñamos de acuerdo a patrones matemáticos en un plano Cartesiano o fuera de él, con el propósito de visualizar los resultados de todos los procesos estadísticos- matemáticos realizados en 1m trabajo de investigación estadística, los que nos permitirán analizar, interpretar y sacar conclusiones rápidas.
Los Gráficos Estadísticos muy utilizados: Diagramas de Puntos, Diagramas Lineales, Diagramas de Superficies Rectangulares, Diagramas de Superficies Circulares, Cartogramas, Pictogramas, etc.
DIAGRAMAS DE PUNTOS.
Este Diagrama de Puntos también es conocido como Diagrama de Dispersión y es una representación del comportamiento de un fenómeno estadístico, el mismo que se grafica en el Plano Cartesiano mediante puntos asociados para cada variable con datos discretos o continuos y la respectiva frecuencia absoluta., para lo cual utilizamos el eje de las abscisas para las variables y el eje de las ordenadas para las frecuencias absolutas.
f
X
f......Fuente: U.E.B. Sistema de Educación a Distancia. 2003 - 03 - 13
DIAGRAMAS LINEALES.
POLÍGONO DE FRECUENCIAS.
También llamado Curva de Frecuencias Absolutas. Son representaciones geométricas lineales en el Plano Cartesiano que nos permiten observar el comportamiento de un fenómeno que se investiga en función de los datos de las variables y de las respectivas frecuencias, donde los puntos resultantes son unidos mediante segmentos de recta, cuyo gráfico final recibe el nombre de Polígono de Frecuencias.
f
X
Fuente: U.E.B. Sistema de Educación a Distancia. 2003 - 03 - 13
· OJIVA DE GAL TON.
También llamado Gráfico de Frecuencias acumuladas .Constituye una representación geométrica lineales en el Plano Cartesiano que nos permite observar el comportamiento de un fenómeno que se investiga en función de los datos de las - variables y de las frecuencias acumuladas, donde las frecuencias acumuladas se ubican en el eje de las abscisas y las variables o también puntos medios se ubican en el eje de las ordenadas.
Xm
fa
Fuente: U.E.B. Sistema de Educación a Distancia. 2003 - 03 - 13
DIAGRAMAS DE SUPERFICIE.
Constituyen gráficos geométricos de superficie rectangular que nos permiten visualizar el comportamiento de un fenómeno estadístico que se investiga, que se realizan mediante puntos, líneas y superficies rectangulares.
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS.
Es la representación geométrica superficial en el Plano Cartesiano, de una serie de rectángulos unidos, donde sus bases se ubican en el eje de las abscisas y corresponden a los datos de las variables simples o también de los puntos medíos, mientras que sus alturas corresponden a las frecuencias absolutas y se ubican en el eje de las ordenadas.
f
X
Fuente: U.E.B. Sistema de Educación a Distancia. 2003 - 03 - 13
DIAGRaMAS DE BARRAS.
Es una representación geométrica superficial en el Plano Cartesiano, de una serie de rectángulos separados a manera de barras, las mismas que pueden ubicarse ya sean verticales o horizontales, pudiendo ser además barras simples o barras dobles, donde sus bases se ubican en el eje de las abscisas y corresponden a las variables o también pueden ser puntos medios, mientras que sus alturas se ubican en el eje de las ordenadas y corresponden a las frecuencias absolutas.
f
X
Fuente: U.E.B. Sistema de Educación a Distancia. 2003 - 03 - 13
DIAGRAMA CIRCULAR.
Es un Diagrama geométrico de Superficie Circular que se lo utiliza para representar datos estadísticos relacionados con un fenómeno que se investiga, el mismo que consiste en un círculo dividido en varios segmentos circulares, donde se representan tanto los valores de las variables como los porcentajes de las frecuencias absolutas, por lo que para construirlo se utiliza la siguiente fórn1ula: A = 360 f la misma que nos permite obtener valores de ángulos en grados sexagesimales. N
Fuente: U.E.B. Sistema de Educación a Distancia
PICTOGRAMA
Son dibujos artísticos que nos permiten representar datos estadísticos con el propósito de visualizar e interpretar los resultados obtenidos en un proceso de algún fenómeno que se investiga
Fuente: U.E.B Sistema de Educación a Distancia. 2003-03-13
· CARTOGRAMA
Son mapas que nos permiten ubicar una localidad relacionada con un fenómeno o problema que se investiga estadísticamente.
Fuente: U E. B Sistema de Educación a Distancia. 2003-03-13
ANALISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS EN LOS GRÁFICOS.
Si visualizamos un Diagrama de Dispersión o Nubes de puntos y en el apreciamos que en un determinado sector se agrupa la mayor cantidad de puntos, eso nos permite interpretar de que en ese lugar está presente ya sea la dificultad o la ventaja del problema que se investiga.
Si analizamos en un polígono de frecuencias el rendimiento de un grupo de estudiantes y en el observamos el apuntamiento del polígono a la izquierda, al centro o a la derecha, esto nos permite interpretar dificultad en el rendimiento, rendimiento normal o excelente rendimiento respectivamente. Pero si observamos dos agrupamientos muy pronunciados, podemos interpretar como que en el grado hay dos grupos de estudios, donde en el de la izquierda permite interpretar de que el rendimiento es inadecuado por ser difícil la prueba y en el de la derecha de que el rendimiento es el adecuado o que la prueba fue demasiado fácil.
Si analizamos una Ojiva de Galton relacionada con una situación pedagógica por ejemplo, la posición de la Ojiva nos indica que la evaluación receptada ha sido normal, si la curva es en forma de una onda o línea sinuosa no muy pronunciada, pero si la curva la toma una forma cóncava hacia abajo indica que la evaluación a sido demasiado fácil, pero si la curva tiende a ser una recta entonces se interpreta como que la evaluación ha sido bastante difícil.
Tratándose de Histogramas de Frecuencias o de Barras, la altura del histograma o de la barra observada y analizada nos permite interpretar con facilidad dificultades o buen rendimiento o labor docente en determinados estudiantes o en determinadas asignaturas.
Si visualizamos un Diagrama Circular y ponemos atención a cada sector circular por ejemplo de calificaciones y de sus respectivos porcentajes, esto nos permite interpretar de acuerdo a su ángulo y superficie resultados favorables o desfavorables, según el fenómeno que se investiga.
Por otra parte si observamos un Pictograma este nos permite interpretar de acuerdo al tamaño o altura del icono o dibujo, situación favorable o desfavorable de acuerdo al problema o fenómeno que se investiga.
Finalmente si observamos un Cartograma o sea 1m mapa o croquis, este nos permite ubicar el sector donde se ha investigado un problema de cualquier naturaleza.
APLICACIONES DE LOS DIAGRAMAS ESTADÍSTICOS EN LA ENSEÑANZA DE CUARTO A DÉCIMO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA.
Cuando el maestro se inició desde Cuarto Año de Educación Básica en la enseñanza del Sistema Estadístico y de Probabilidades, es importante de que en este grado utilice inicialmente los Pictogramas o sean dibujos, los mismos que van a motivar al niño para que se interese en la investigación básica, ya sea por ejemplo, sabor de helados, equipos de fútbol, preferencia por el deporte, comparación de estaturas, etc.
Pero a medida que avanzas los años de escolaridad por ejemplo quinto año de Básica, seria saludable de que utilice barras verticales. En Sex1:o de Básica se le puede enseñar a graficar histogramas, finalmente en Séptimo, Octavo, Noveno y Décimo de Educación Básica ya se le puede enseñar a graficar Polígonos de frecuencias, Ojiva de Galton y Diagramas circulares, en razón de que ya conoce los Planos Cartesiano s y sabe manejar el compás y graduador a perfección.
UNIDAD CINCO
INTRODUCCIÓN PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO
RAZONAMIENTO LÓGICO Y VERBAL
Introducción.: Importancia del razonamiento en los educadores.- Clases de razonamiento: Razonamiento Semántica.- Razonamiento Analítico.- Razonamiento Simbólico.- Razonamiento Figurativo.- Educación por Competencias.- Formas de Razonamiento.- Actividades de Auto evaluación extracurricular.
DESARROLLO
RAZONAMIENTO LÓGICO Y VERBAL
INTRODUCCIÓN.- El razonamiento lógico y verbal está diseñado pata evaluar esta clase de razonamiento en los estudiantes, mediante el cual se pueden lograr determinar y demostrar las diversas destrezas de razonamiento que poseen los estudiantes y que son necesarios para el eficiente trabajo en el aula para diferentes áreas de estudio.
IMPORTANCIA DEL RAZONAMIENTO EN LOS PROFESORES.-
El razonamiento lógico y formal tiene muchísima importancia dentro de la labor educativa que ejercen cada uno de los educadores, en vista de que tanto los educadores como los estudiantes tienen que desarrollar en cada uno de ellos, las diferentes clases de inteligencias que poseemos todas las personas y que en muchos casos están ocultas o sencillamente no están desarrolladas, por que el trabajo que realizan en el aula simplemente está diseñado a repetir definiciones, conceptos, ejercicios verbales y numéricos, pero lamentablemente no haciendo énfasis en la resolución de problemas, que es precisamente lo que necesita el estudiante, ya que con estos el estudiante con la guía del educador, pone en juego el razonamiento, donde es indispensable utilizar cuatro fases las mismas que son: Concreta, gráfica, simbólica y complementaria.
Es importante evaluar la capacidad de razonamiento por que se necesitan estudiantes y educadores con grandes destrezas de razonamiento, ya que el propósito d una educación de calidad no puede ser la mera transmisión de conocimientos, sino también el desarrollo de habilidades de razonamiento, por lo que no se quiere que los estudiantes adquiran conocimientos pasivamente, sino por el contrario estudiantes que sepan razonar críticamente a partir de la información disponible y por tal motivo tanto estudiantes y educadores debemos desarrollar estas destrezas.
CLASES DE RAZONAMIENTO:_
Para una excelente aplicación de los razonamientos, es muy importante destacar que se los dividen en cuatro secciones, donde cada una de las cuales evalúa un tipo específico de razonamiento siendo estos los siguientes: Razonamiento Semántico, analítico, simbólico y figurativo.
RAZONAMIENTO SEMÁNTICO.-
El Razonamiento Semántico tiene por finalidad lograr en los estudiantes resolver una gran variedad de problemas que están expresados gramaticalmente ( verbalmente ), que por lo tanto requieren buen manejo del lenguaje en la lecto- escritura,. Pero no descuidando que en lo referente con expresiones gramaticales esto da lugar a la habilidad para determinar conclusiones de entre algunas conclusiones dando lugar al razonamiento en cadena que constituye el Silogismo.
Ejemplo.
Raquel nació en el año 1960, Alexandra nació en el año 1972. Si Patty es más joven que Alexandra, entonces sabemos que:
· Raquel es mayor que Alexandra y más joven que Patty.
· Raquel es más joven que Alexandra y mayor que Patty.
· Raquel es más joven que Alexandra y que Patty.
· Alexandra es más joven que Raquel y mayor que Patty.
· Alexandra es mayor que Raquel y más joven que Patty.
RAZONAMIENTO ANALÍTICO..
El Razonamiento Analítico permite evaluar la capacidad de sacar conclusiones a partir de una información disponible, los mismos que en el área de la matemática, facilitan la interpretación de problemas, para su posterior resolución mediante las fases procedimentales: Concreta, gráfica, simbólica y complementaria.
Ejemplo.
1.- Pida a uno de sus compañeros o compañeras sin que Ud observe, que escriba cuanto calza, luego dígale que le multiplique por 100. A ese resultado que le reste el año completo en que nació, a continuación pídale ese resultado. Ahora: ¿ Como haría Ud, para calcular cuanto calza y que edad tiene a la fecha o va a cumplir en este año?
2.- Un lechero desea vender un litro de leche que le han solicitado, pero resulta que dispone solamente de una botella de ocho litros que está llena de leche , una botellas vacías de cinco litros y otra botella vacía de tres litros. ¿ Cómo podrá vender lo solicitado?
3.-.- Dispongo de dos balanzas iguales y equilibradas cada una. Pero en la primera balanza tengo un libro y un gato, mientras que en el platillo de la derecha tengo siete tarros con gaseosas que pesan cada 500 gramos cada uno. Pero resulta que en la segunda balanza tengo en el platillo de la izquierda cinco tarros con gaseosas iguales a los anteriores y en el platillo de la derecha tengo un libro igual que el anterior y tres tarros. Ahora ayúdeme para saber Cuanto pesa el gato?
RAZONAMIENTO SIMBÓLICO.
Mediante el Razonamiento Simbólico los docentes logran desarrollar y evaluar las habilidades que permiten hacer inferencias lógicas con numerales ( cantidades numéricas ), mediante las cuales los estudiantes aplican toda una serie de habilidades de razonamiento que ponen en juego la creatividad par lograr la solución de ejercicios numéricos.
Ejemplos:
1.- Dadas las siguientes fichas numéricas, determinar las respectivas inferencias que se presentan en cada una de ellas y luego en todas.
1 3 5 7 9 11 13 15
17 19 21 23 25 27 29 31
33 35 37 39 41 43 45 47
49 51 53 55 57 59 61 63
2 3 6 7 10 11 14 15
18 19 22 23 26 27 30 31
34 35 38 39 42 43 46 47
50 51 54 55 58 59 62 63
4 5 6 7 12 13 14 15
20 21 22 23 28 29 30 31
36 37 38 39 44 45 46 47
52 53 54 55 60 61 62 63
8 9 10 11 12 13 14 15
24 25 26 27 28 29 30 31
40 41 42 43 44 45 46 47
56 57 58 59 60 61 62 63
16 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
RAZONAMIENTO FIGURATIVO ( ABSTRACTO.).-
El Razonamiento Figurativo permite lograr en los estudiantes una evaluación de su apreciación de representaciones de lo abstracto que se presentan por medio de dibujos, figuras, ilusiones ópticas, etc.
Ejemplo.
EDUCACIÓN POR COMPETENCIAS.-
Son estrategias concretas y prácticas que utilizan los educadores creativos, para desarrollar las competencias con los estudiantes tiene por objetivo primordial rescatar y socializar entre los estudiantes el desarrolla del pensamiento y la creatividad, donde para lograr estos aprendizajes significativos, no se requiere mayores esfuerzos por parte de los estudiantes, sino una serie de fundamentaciones, justificaciones, objetivos, recursos, metodologías, actividades de evaluación, conclusiones y logros.
Las competencias pueden clasificarse en. Interpretativas, Argumentativas y Prepositivas, las mismas que dan lugar a una interrelación de cuatro clases de pensamiento: Numérico, Variacional, Geométrico y Aleatorio.
La competencia Interpretativa comprende lo siguiente:
En el pensamiento numérico: utiliza algoritmos. En el pensamiento variacional utiliza la interpretación como variación de soluciones. En el pensamiento geométrico ubica geométricamente y en el pensamiento aleatorio completa tablas de valores.
La Competencia Argumentativa comprende lo siguiente:
En el pensamiento numérico justifica procesos, explica como se plantea un problema.- En el pensamiento variacional explica el porque del conjunto de soluciones y justifica cuantitativamente.- El pensamiento geométrico relaciona las formas geométricas y el pensamiento aleatorio da razones para completar una secuencia.
Las competencias Propositivas comprenden lo siguiente:
En el pensamiento numérico propone posibles soluciones y ejemplos numéricos.. En el pensamiento variacional `propone condiciones de variación en recursos.- El pensamiento geométrico diseña, construye y propone construcciones geométricas.- El pensamiento aleatorio propone condiciones para la construcción de recursos.
UNIDAD SEXTA
MATEMÁTICA RECREATIVA
Matemática Recreativa.- Matemática , Reina de las Ciencias.- Números y Magnitudes.- Curiosidades Matemáticas.- Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación Extra clase.
DESARROLLO
MATEMÁTICA RECREATIVA
Aquella matemática que nos invita a conocer curiosidades numéricas ingeniosas hechas desde tiempos muy remotos por grandes matemáticos hasta la actualidad, nos introduce en un mundo maravillo que nos motiva a considerar a la matemática como una ciencia muy fácil, pese a que por lo general quienes hacemos matemática estamos acostumbrados a trabajar con ejercicios y más todavía con problemas que nos llevan a razonar detenidamente, los diferentes Acertijos Lógicos, Juegos de Ingenio, Juegos de Lógica , Juegos de Creatividad, Juegos Recreativos, Juegos con Figuras, Juegos Numéricos, Test de Diversión, parecen a primera vista complicados, en razón de que estamos acostumbrados a trabajar con ejercicios y problemas complicados, pero en realidad son simples, sencillos, pero que requieren de ingenio, de razonamiento deductivo para encontrar la solución..
MATEMÁTICA REINA DE LAS CIENCIAS
La Matemática está considerada como la Reina de las Ciencias, es razón de que siendo la Matemática una ciencia relacionada con todo lo que globaliza la utilización de cantidades, sistemas de numeración, etc., muy vinculada con otras áreas y ciencias del conocimiento, es decir que la matemática siempre está presente en todo nuestro mundo educativo.
Aunque parezca la matemática una ciencia difícil, si bien es un poco complicada para la gran mayoría de personas, en cambio es muy fácil para un sector representativo de personas, a quienes nos agradan las ciencias exactas, en razón de que tenemos desarrollada la Inteligencia Lógica Matemática, la Inteligencia Espacial, la Inteligencia Asociativa, la Inteligencia Deductiva.
Pero a la matemática , los educadores tenemos que hacerla en Educación Básica muy hermosa y fácil, mediante el juego, la distracción, que nos brinda la Matemática Recreativa.
NÚMEROS Y MAGNITUDES
Los números siempre han apasionado a muchas personas desde la antigüedad, a tal punto que se han desarrollado maravillosas expresiones matemáticas a base de sorprendentes cálculos aritméticos con la simple aplicación de las cuatro operaciones fundamentales, enigmas que el hombre actual se sorprende si consideramos que en esa época no disponían de calculadoras poderosas como las de hoy, en aquella época solamente disponían de cálculos manuales.
A continuación le propongo una serie de curiosidades matemáticas que le fascinarán en este maravilloso mundo de la Matemática Recreativa, la misma que Ud, muy bien puede utilizarla en el aula de clase, ya que si bien es cierto que juega matemáticamente, en cambio en el aula ud,
Pedagógicamente ya está en capacidad de jugar matemáticamente con el Sistema Numérico, Sistema de Funciones, Sistema Geométrico, Sistema de Medidas, Sistema Estadístico y Sistema de Probabilidad.
A continuación diviértase con un poco de matemática recreativa:
1.-A propósito de la Copa Mundo Alemania 2006 que acabamos de pasar, los matemáticos jugaron y encontraron curiosidades con las selecciones de Alemania, Argentina y Brasil. Que ya han ganado campeonatos. Así por ejemplo.
· ARGENTINA: 1986 último campeonato ganado
+ 1978 anterior campeonato ganado
_______
3964 número curioso.
· ALEMANIA: 1990 ultimo campeonato ganado.
+ 1974 anterior campeonato ganado.
________
3964 número curioso
· BRASIL: 2002 último campeonato ganado
+ 1962 anterior campeonato ganado
________
3964 número curioso
2.- Yo su servidor y Asesor Pedagógico Máster Roberto Suárez Tagle también quise jugar matemáticamente con uno de los finalistas de la Copa Mundo Alemania 2006, como lo es Italia, tres veces campeón del mundo en los años 1934 , 1938 y 1982.
· ITALIA: 1982 último campeonato ganado
+ 1938 anterior campeonato ganado
________
3920 Pero desde el primer campeonato ganado En 1934 hasta la Copa Mundo 2006, han pasado 40 años. 3920
+ 40 años transcurridos.
________
3960
Pero así mismo entre el primer campeonato ganado en 1934 y el segundo campeonato ganado pasaron 4 años.
3960
+ 4 años transcurridos.
_______
3964 número curioso.
3.- También encontré algo curioso al seguir jugando matemáticamente con otro campeón mundial como lo es Francia que ganó su primer mundial en 1998. Finalista con Italia en la Copa Mundo Alemania 2006, jugado el partido final el 9 de Julio del año 2006.
FRANCIA:
3964 número curioso
-- 2006 Copa Mundo Alemania.
______
1958
+ 40 transcurridos entre el primer Campeonato ganado por Italia ( finalista ) al 2006. ______
1998 ¿ Recuerda este año? Fue Campeón Francia.
Como podrá observar ud, una vez más la matemática
Jugó con los finalistas de la Copa Mundo
Alemania 2006
y
Curiosamente
ITALIA
es
El nuevo CAMPEÓN mundial de Fútbol
FORMAS DE RAZONAMIENTO
ACTIVIDADES DE AUTO EVALUACIÓN EXTRA CLASE.
1.- Ahora le propongo que juegue matemáticamente con el 76923, observe que ocurre si lo multiplicamos por 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12?
2.- Le propongo el número 1176470588235294, busque que ocurre al multiplicarlo por la serie numérica 2,3,4,5,6,7,8?
3.- Juegue una vez más: Multiplique 5291 x 21 =? , ahora ud, como encontraría 222222, 333333, 444444 , 555555 , 666666 , etc.
4.- Siga Jugando: 12345679 x 9 = 111111111 , ahora busque 222222222 , 333333333, etc.
5.- Ayúdeme a buscar el valor de Pi = 3.14 con los siguientes datos: En los pasajes Bíblicos II de Corintios 4 , 2 y I de Reyes 7 . 23 dice que: ¨ Dios creó al mundo en un mar de fundición de bronce, de forma redonda , que media: 10 codos de un extremo a otro, 5 codos de profundidad y además tenía un cordón que lo circundaba con 30 codos.
6.- Al costado de un barco cuelga una escalera de 4 m de largo; los peldaños están a 50 cm uno del otro y el primero está a ras de agua. La marea sube a razón de 50 cm cada hora. ¿Cuando estarán bajo el agua los últimos peldaños?
7.- Tenemos ocho bolas de idéntico tamaño y color, pero una de ellas pesa un poco más, que las otras. Se trata de saber cual es, mediante una balanza y efectuando dos pesadas.
8.- Un ladrillo pesa un kilo más medio ladrillo. ¿ Cuánto pesarán dos ladrillos?
9.- Tengo una vasija de 8 litros llena de vino y otras dos de 3 litros y 5 litros vacías. ¿ Cómo puedo medir 4 litros sin tener otras vasijas?
10.- Dando clases de Lógica Matemática el Master. Roberto Suárez Tagle, entra el Señor Decano y le pregunta: ¿ Cuántos alumnos asisten a clase normalmente? . Entonces el profesor le contestó:
¨ La mitad de mis alumnos tiene preferencia por matemática, una cuarta parte le agrada Ciencias Naturales, una séptima parte le agrada Estudios Sociales, y me restan tres estudiantes.¨ .
Ante esta respuesta, el señor Decano queda desorientado más que antes. ¿ Como le ayudaría Ud, al señor Decano?
11.- Será posible que si a 45 le resta 45 su diferencia también es 45..
12.- Proponga 5 ejercicios o 5 problemas con Sistema Numérico, para Matemática Recreativa.
13.- Proponga 5 ejercicios o 5 problemas con Sistema Geométrico para Matemática Recreativa.
Aporte informático para este Módulo
de mi hija Srta. Fátima Suárez Arguello.
2007 - 2008
RST
UNIVERSIDAD ESTATAL DE BOLÍVAR
FACULTAD EN CIENCIAS DE LA SALUD
ESCUELA DE INGENIERIA EN GESTIÓN Y RIESGO
¨
MÓDULO
DE
MATEMÁTICA I I
Máster: ROBERTO SUAREZ TAGLE
ASESOR PEDAGÓGICO
1959041619721208
2010 – 04 – 27
INTRODUCCIÓN
Apreciado estudiante de la Facultad Ciencias de la Salud, Escuela Ingeniería en Gestión de Riesgos, de la Universidad Estatal de Bolívar.
En el presente evento académico, les corresponde recibir asesoría pedagógica relacionada con MATEMÁTICA II , la misma que consta dentro del proceso de enseñanza aprendizaje de acuerdo al Currículo por áreas para Matemática, como parte de las expresiones que deben conocer todos los estudiantes y por ser un lenguaje riguroso e Inter. Relacionador, facilita la comprensión y el aprendizaje de la Matemática y de las demás ciencias. De esta manera a más de evitar ambigüedades en el Lenguaje Común, contribuye al desarrollo de destrezas propias del pensamiento lógico formal, por medio de procesos matemáticos.
Pero es importante destacar que se da un hecho histórico innegable, en razón de que la mayoría matemáticos crean circunstancias muy especiales como la aplicación Matemática que se hace en el campo de la Ingeniería. Pero la analogía entre ambas radica en la precisión, en la exactitud, en evitar toda vaguedad o ambigüedad.
En verdad el hombre, con las facultades imaginativas, poco o nada puede hacer sin símbolos y en el presente programa de estudio trataremos en el estudio de la Matemática con el Razonamiento Lógico Matemático y las formas de razonamiento, una herramienta básica para sus estudios de Ingeniería en Gestión de Riesgo y Desastres, donde en el presente Módulo se tratarán contenidos vinculados a la especialidad, ya que los países del mundo y por ende Ecuador, son vulnerables a desastres, asi como lo demuestran las experiencias en eventos naturales como sismos, sequías, inundaciones, deslizamientos, procesos eruptivos, incendios, nevadas, cambios climáticos, entre otros, que afectan a los procesos de desarrollo de las poblaciones afectadas.
Entonces distinguidos estudiantes, ampliemos en vosotros la capacidad de pensamiento deductivo, ya que muchas respuestas de la Matemática no dependen de sus conocimientos previos ni de su memoria, sino únicamente que resultan del uso de pensar lógicamente, apoyándose firmemente en la Matemática.
Afectuosamente.
Máster. Roberto Suárez Tagle.
MASTER EN DOCENCIA UNIVERSITARIA
E INVESTIGACIÓN EDUCATIVA.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL.
Lograr que los estudiantes de la Universidad Estatal de Bolívar, Facultad Ciencias de la Salud, al finalizar el Curso en la Asignatura Matemática II, estén en capacidad de buscar alternativas válidas, que ofrezcan una vía de solución correcta en los diferentes problemas de razonamiento deductivo.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Utilizar razonamiento deductivo para el desarrollo de la mente del estudiante de de la Escuela Gestión de Riesgo.
Resolver juegos matemáticos donde las respuestas no dependan de conocimientos previos.
Analizar e Interpretar resultados mediante el uso del Razonamiento Lógico.
Introducir a los estudiantes en cada asesoría a la Matemática razonada y Recreativa.
Aplicar la capacidad de pensamiento deductivo a los sistemas algebraicos.
METODOLOGÍA GENERAL DEL TRABAJO Y EVALUACIÓN
MÉTODOS Y TÉCNICAS EN LA RED DE ASESORÍA.
MÉTODOS.
Para lograr el éxito del auto aprendizaje en la modalidad presencial en la Asignatura de I Matemática, aplicada a la Ingeniería en Gestión de Riesgo, se utilizarán métodos didácticos activos, analíticos, de investigación y deductivos.
TÉCNICAS:
Para implementar la metodología a utilizar, se aplicarán técnicas activas con formas específicas para el cumplimiento de un procedimiento didáctico de acción a partir de la información suministrada a los estudiantes, mediante la investigación, taller, dinámica grupal, donde el uso de la lógica sea la parte esencial del trabajo.
FORMAS Y TÉCNICAS DE EVALUACIÓN.
Por ser la Evaluación Educativa un proceso sistemático, continuo y coherente en el proceso de Enseñanza Aprendizaje, esta será sistemática, formativa y sumativa en cada encuentro, razón por la cual es importante 100 % su asistencia a clase, ya que con exceso de faltas a la Red de Asesoría, el alumno prácticamente queda fuera del evento académico y por lo tanto reprueba el Módulo de Matemática.
La Evaluación individual y grupal serán de 10 puntos, de igual manera se evaluarán trabajos extra curriculares sobre 10 puntos y su examen final en el último encuentro será sobre 10 puntos, mediante una prueba escrita individual, lo que le acreditará un promedio total de 10 puntos.
Sin embargo ud, aprobará la Asignatura con la calificación mínima de 7 puntos
NUCLEO DE VALORES, HABILIDADES Y PRINCIPIOS
Valores
Habilidades
Principios, Leyes, Métodos
• Solidaridad
• Empatía
• Responsabilidad
• Compromiso
• Respeto
• Confianza
• Pertinencia
• Tolerancia
• Identificar zonas de riesgo e impacto
• Cuantificar los riesgo e impactos
• Interpretar escenarios de riesgos e impactos
• Elaboración de mapas de riesgos (amenazas, vulnerabilidades y capacidades) e impactos
• Elaborar informes de escenarios de riesgo e impactos
Principio: Concreto, Exacto.
Leyes cualitativas y Cuantitativas.
Método: Heurístico, Analítico, Practico Cognitivo
CONTENIDOS
PRIMERA UNIDAD
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA
Recta.- Segmentos de Recta.- Ángulos.- conversiones angulares.- Clasificación de los ángulos.-
Ángulos entre paralelas.- Teorema de Thales.- Triángulos.- Clasificación.- Cuadriláteros.- Polígonos Regulares.- Polígonos Irregulares.- Cálculo de Perímetros y Aéreas.- Cuerpos Geométricos.- Esfera.- Cilindro.
SEGUNDA UNIDAD
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALITICA
Geometría analítica.- Plano Cartesiano.-Pares ordenados.- Distancia entre dos puntos.- División de una recta.- Ecuaciones de la recta apoyada en un punto.- Pendiente e inclinación de una recta.- Ecuación de la Recta apoyada en dos puntos.- Ecuación de la circunferencia.- Secciones cónica .- Definición y aplicación de Geometría plana: Triángulos, cuadriláteros.- Polígonos.- Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación
TERCERA UNIDAD
INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA
Definición y aplicación Trigonometría.-Funciones Trigonométricas.- Identidades Trigonométricas.- Teorema de Pitágoras.- Resolución de triángulos Rectángulos y Oblicuángulos.- Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación
QUINTA UNIDAD
MATEMÁTICA RECREATIVA
Matemática Recreativa.- Matemática , Reina de las Ciencias.- Números y Magnitudes.- Curiosidades Matemáticas.- Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación Extra clase.
DESARROLLO DE CONTENIDOS
UNIDAD 1
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA
Recta.- Segmentos de Recta.- Ángulos.- conversiones angulares.- Clasificación de los ángulos.-
Ángulos entre paralelas.- Teorema de Tha
DESARROLLO
RECTA.
Se define como línea recta a la sucesión infinita de puntos que siguen una misma dirección.
SEGMENTO DE RECTA.
Constituye una parte de la recta, para lo cual se la representa por dos letras mayúsculas las mismas que tienen sobre ellas un pequeño guión.
ANGULOS.
Se llama ángulo a la abertura comprendida entre dos segmentos de recta. Todo ángulo tiene lado inicial y la final y entre ellos la medida angular, la misma que en el uso práctico y convencional se usan los grados sexagesimales. Por que dividen a la circunferencia en 360 partes iguales, llamadas grados. Pero también se pueden usar los Radianes, considerando a un grado Radian, a la longitud de acuerdo equivalente a la longitud de un radio de la circunferencia.
CLASIFICACIÓN DE LOS ANGULOS.
Los ángulos se los clasifican de acuerdo a su medida en Agudo, Recto y Obtuso.
Angulo recto, cuya medida es igual a noventa grados.
Angulo Agudo es aquel cuya medida está entre cero y noventa grados.
Angulo obtuso es aquel cuya medida está entre noventa y ciento ochenta grados.
Además los ángulos pueden ser: Complementarios y suplementarios , de acuerdo a la magnitud de su ángulo.
De acuerdo a su posición pueden ser. Adyacentes, opuestos por el vértice, alterno – internos, Alternos – externos.
ANGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS.
Si a partir de dos líneas paralelas trazamos una línea inclinada, que interseque a ambas, tenemos diferentes posiciones entre los angulos, pudiendo estos ser. Internos, externos, opuestos por el vértice, entre paralelas, etc.
Es importante recordar que en el estudio de la geometría, es básico utilizar instrumentos geométricos tales como compás, escuadras, graduador, regla, cintas métricas, etc., todo lo cual permitirá trazar adecuadamente los diferentes figuras y cuerpos geométricos.
TRIÁNGULOS.
Son figuras planas limitadas por tres lados, pudiendo ser estos en la mayoría de los casos lados formados por líneas rectas, y se llaman triángulos rectilíneos, mientras que pero en otros casos pueden ser formados por líneas curvas y en este caso se llaman curvilíneos, pero si en sus trazos usamos tanto líneas rectas como curvas se llaman mixtilíneos.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS.
Los triángulos Rectilíneos, de acuerdo a la longitud de sus lados pueden ser. Equilátero, Isósceles y escaleno.
Pero de acuerdo a la magnitud de sus ángulos pueden ser: Rectángulos y Oblicuángulos.
El Triángulo rectángulo tiene un ángulo de noventa grados, pudiendo ser este isósceles o escaleno.
En cambio los triángulos oblicuángulos pueden ser: Acutángulo u Obtusángulo, es decir que entre sus ángulos solo tenga ángulos agudos, tal es el caso del triángulo equilátero o puede ser obtusángulo como el caso del triángulo escaleno pero que tiene un ángulo obtuso.
Es importante destacar que el triángulo rectángulo únicamente en él, se aplica el Teorema de Pitágoras, ya que él tiene un ángulo de noventa grados, una hipotenusa y dos catetos, además en ellos se pueden utilizar las ocho funciones trigonométricas para su resolución: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante, seno verso y coseno verso.
En cambio los triángulos oblicuángulos no tienen ningún ángulo de noventa grados, entonces no se puede aplicar el Teorema de Pitágoras, ni las ocho funciones trigonométricas, sino las Leyes del: Seno, Coseno o Tangente.
CUADRILÁTEROS:
Son figuras planas limitadas por cuatro lados. Ellos pueden ser: Cuadrado, rectángulo, rombo y trapecio. Cada uno de ellos con sus características especiales.
POLÍGONOS.
Son figuras planas limitadas por varios lados, los mismos que se clasifican en Regulares por sus lados que tienen la misma longitud e Irregulares. Porque sus lados no que tienen la misma longitud. El Polígono Regular con menor número de lados es el Triángulo equilátero, le sigue el cuadrado, pentágono,etc. Pero así mismo entre los polígonos irregulares tenemos uno con menor cantidad de lados y es el triángulo con lados de diferente longitud.
En ingeniería es importante aplicar mucho la triangulación para realizar cálculos de áreas.
TRAZO DE POLÍGONOS REGULARES:
Para trazar polígonos regulares es importante utilizar como instrumentos el compás, escuadras, graduador y conocer los procesos para trazar polígonos desde el triángulo equilátero hasta el de enésima cantidad de lados.
Luego a partir de todos los polígonos sean estos regulares o irregulares, hacer aplicaciones con cálculo de problemas variados.
CUERPOS GEOMÉTRICOS:
Hay que destacar que los cuerpos geométricos no son figuras geométricas, ya que estos ocupan un lugar en el espacio y pueden ser entre otros: Cubo, pirámide, cilindro, esfera, pirámide,etc.
EJERCICIOS RELACIONADOS CON ÁNGULOS.
Los ángulos M =15º48´37´´ y N =74º11´23´´
Halla el complemento de F =25º37´48´´
Hallar el suplemento de F =25º37´48´´
Calcula cada uno de los ángulos obtenidos al trazar la bisectriz del Angulo de medida
A=125º36´
EJERCICIOS RELACIONADOS CON POLÍGONOS
¿Cuál es el polígono que tiene 77 diagonales?
¿Que polígono tiene cuatro y media veces más diagonales que lados
¿Cuál es el polígono cuyo nº de diagonales es igual al nº de lados
¿Cuál es el polígono cuyo nº de diagonales es el triple del nº de lados
¿Cuál es el polígono cuyo nº de diagonales es el cuadrado del nº de sus lados
¿Cuál es el polígono que al triplicar el nº de lados obtiene otro que tiene 27 veces el nº
de diagonales que contenía el primero?
¿Cuál es el polígono regular en el cual sucede que el nº que expresa el valor del
Angulo interior es igual a 20 veces el nº de sus lados?
Si el nº total de diagonales que pueden trazarse en un polígono regular son
170 ¿cuánto mide un Angulo interior de dicho polígono?
¿Hallar el polígono regular del que Angulo interior vale 60º
¿Hallar el polígono regular cuya suma de ángulos interiores es 1440º
EJERCICIOS RELACIONADOS CON TRIÁNGULOS Y CUADRTILÁTEROS.
La altura de un triangulo rectángulo divide a la hipotenusa en dos segmentos de
longitud 8 y 18 cm. ¿Cuánto vale dicha altura?
Calcula la altura de un triangulo equilátero de 6cm de lado
Calcula la diagonal de un rectángulo de 9 y 6 cm de lados
En un triangulo rectángulo se conoce b =40cm b´= 32 cm .Calcula la hipotenusa, el
cateto, la proyección del cateto c sobre la hipotenusa y la altura
En un trapecio isósceles se conoce base mayor =21,base menor =9,lado no paralelo =10.Calcula la altura y la diagonal
Dado un hexágono de 6cm de radio calcula la apotema. Determina la diagonal de un cuadrado de 8 cm de lado.
Determina el lado de un cuadrado de 10 cm de diagonal
Una torre de 150m de altura produce una sombra de 200m.Que distancia existe desde
el punto más alto de la torre hasta el extremo de la sombra?
Calcular el lado de un rombo siendo diagonales miden 12 y 16 cm
Una escalera de 10 m de longitud esta apoyada sobre una pared. El pie de la escalera
dista 6 m de la pared¿ Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
Ejercicio
Dado AB =60,BC =40,AC = 60, A´B ´=45.Calcular B´C´ y A´C´
Los lados de un triangulo miden 7,8 y 10 cm respectivamente hallar los lados de otro
Triangulo semejante cuyo perímetro es 75 cm
La razón de semejanza de dos polígonos es 2/7 y el perímetro de primero 38cm.¿
cuánto mide el perímetro del segundo?
Dado AB =3,BC =6,AC = 12, A´B ´=2. Calcular B´C´ y A´C´
Un plano de un terreno se ha hecho a escala 1/625.Averiguar que tendrá la fachada de
Una casa que en el dibujo mide 25cm.
CALCULO DE AREAS
a.- área de un rectángulo cuya altura mide 2 cm y su base mide 3 veces su altura
b.- área de un rectángulo de base 6 cm y altura 2/3 de la base
c.-el lado de un cuadrado de área 16 cm 2
d.- el área en m 2 de un cuadrado de 10 dm de lado
e.- el área de un triángulo cuya base es 10 cm y su altura mide 4/5 de la base
f.- el área de un triángulo cuya base es 5 cm y su altura mide el doble de la base
g.-Se cambian dos terrenos equivalentes, el primero es un cuadrado de 200m de perímetro y el segundo es un triangulo de 80m de base ¿Cuál es la altura del triangulo
h.-Calcula las dimensiones de un rectángulo de 32m de perímetro y 63m2 de
superficie
i.- Determina el área de un triángulo isósceles de 12 m de base y 10 cm de altura
www.amatematicas.cl 10
j.- Determinar el área de un triángulo isósceles sabiendo que el perímetro es de 20 cm
y que cada uno de sus lados iguales es el doble de la base.
k.-Calcular el perímetro de un rombo que tiene de diagonales 10 y 24 cm
l.-Un triángulo equilátero y un cuadrado tienen el mismo perímetro 18 cm. Determina
el área de las figuras
m.-Desde un centro C de Cortina D´Ampezzo, Villa Cadore a 1200 m de Altitud
parten 2 teleféricos, uno para Pocol (1500 m) y otro para Monte Faloria(2100m. Las
líneas CP y CF se dirigen en sentidos opuestos respecto al Valle.La primera tiene una
longitud de 1,9 Km y la segunda de 2,4 Km ¿Qué longitud tendría un teleférico que
uniera directamente el Monte Faloria con Pocol?.
n.-En un rectángulo cada diagonal mide 8 cm mas que uno de sus lados y 16 cm mas
que el otro. Calcula el área y perímetro de dicho rectángulo.
p.-Halla el área de un cuadrado tal que la diferencia entre su diagonal y el lado sea de
5 cm
q.-El lado de un cuadrado mide 5,2 m ¿En cuánto ha de aumentarse este lado para que el área del cuadrado aumente en 24,8 m2
r.-Un rectángulo tiene 48 m2 de área y su diagonal es de 10 m. Hallar la longitud de sus lados
s.-Un solar de forma rectangular tiene de diagonal de 26 m , la diferencia entre sus lados contiguos es de 14 m .Se desea saber el valor del solar al precio de 1.500 ptas el m2
t.-La base mayor de un trapecio rectangular es 5/3 de la base menor y el doble del lado oblicuo. Calcula los cuatro lados del trapecio sabiendo que el área es de96 dm2
u. –Sea una habitación cuadrada de 90m de lado. Se quiere cubrir el suelo con
baldosas cuadradas de 30cm de lado, que cuestan a 35 Ptas. cada una, Calcular el área de la habitación , el área de cada baldosa.¿Cuántas baldosas se pondrán en la habitación ¿ .¿Cuánto cuestan todas las baldosas?
v.- Calcula la apotema y el área del hexágono regular inscrito en una circunferencia
de radio 6cm
y.- Calcula la cuerda que se forma al inscribir un cuadrado de 5cm de lado en una circunferencia.
UNIDAD 2
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALITICA
Geometría analítica.- Plano Cartesiano.-Pares ordenados.- Distancia entre dos puntos.- Ecuaciones de la recta apoyada en un punto.- Pendiente e inclinación de una recta.- Ecuación de la Recta apoyada en dos puntos.- Ecuación de la circunferencia.- Secciones cónica .- Definición y aplicación de Geometría plana: Triángulos, cuadriláteros.- Polígonos.- Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación.
DESARROLLO
GEOMETRÍA ANALÍTICA.
Es una parte de la matemática que se caracteriza por la aplicación del Algebra a la Geometría Plana, considerada esta última dentro del plano.
PLANO CARTESIANO Y PARES ORDENADOS.
Dentro del Plano geométrico se llama plano cartesiano a la intersección perpendicular de dos segmentos de rectas, el mismo que se divide en cuatro cuadrantes, correspondiendo al primer cuadrante ( + , + ) , al segundo cuadrante ( - , + ) , al tercer cuadrante ( + , + ) y al cuarto cuadrante ( + , - ) , constituyendo cada simbología los signos de los pares ordenados.
II I
III IV
ACTIVIDADES
EJERCICIO.1.-
- Hallar la distancia entre los puntos de coordenadas
a) (-2,3) y (5,1) , b) (6,-1) y (-4,-3) , c) (-1,-5) y (2,-3)
EJERCICIO. 2-
Ver si los puntos de coordenadas (3,8) (-11,3) y (-8,-2) son vértices de un triángulo
isósceles.
Ver si los puntos de coordenadas (2,-2 ) (-3,-1) y ( 1,6) son vértices de un triángulo
isósceles.
EJERCICIO.3-
Ver si los puntos dados son vértices de un triángulo rectángulo
a) ( 7,5 ) ( 2,3 ) ( 6,-7)
b) ( -2,8 ) ( -6,1) ( 0,4)
c) ( 0,9) ( -4, -1) ( 3,2)
d) (1,1) (-2,-4) (1,-4)
EJERCICIO .4.-
-
Analizar si los puntos dados son colineales
a) ( -3, -2 ) ( 5,2 ) ( 9,4)
b) ( 0,4 ) ( 3,-2 ) ( -2,8)
c) ( 0,6 ) (3, -1 ) (1,7)
d) (2,9) (-2,1) (-3,-1)
e) (0,5) (-1,3) (1,7)
EJERCICIO.5.-
-
Hallar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son:
a) ( -2,5 ) ( 4,3 ) ( 7,-2)
b) ( 2,-5 ) ( -3,4 ) ( 0,-3)
www.amatematicas.cl 2
c) ( -1 ,-2 ) ( 4,2) ( -3,5)
EJERCICIO 6.-
Determinar un punto que equidiste de los puntos dados
a) ( 1 ,7 ) ( 8, 6 ) ( 7 ,-1)
b) ( 3 ,3 ) ( 6,2 ) ( 8,-2 )
c) ( 4, 3) ( 2,7 ) ( -3, -8 )
EJERCICIO. 7.-
Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo que las coordenadas
de los puntos medios de sus lados son
a) ( -2 ,1) (5,2) (2,-3)
b) (3,2) (-1,-2) (5,-4)
ECUACIÓN DE LA RECTA APOYADA EN UN PUNTO
Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es la pendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación está dada de la siguiente manera:
entonces m es la pendiente. En esta ecuación, el valor de b puede ser interpretado como el punto donde la recta intersecta al eje Y, es decir, el valor de y cuando x = 0. Este valor también es llamado ordenada al origen.
Si la pendiente m de una recta y el punto (x0,y0) de la recta son conocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada usando:
Por ejemplo, considere una recta que pasa por los puntos (2, 8) y (3, 20). Esta recta tiene pendiente
. Luego de esto, uno puede definir la ecuación para esta recta usando la fórmula antes mencionada:
EJERCICIO. 1.-
Representa gráficamente las siguientes rectas:
a) y = 2.x b) y = -x-1 c) y = 2.x + 3 d) y =0 e) y =2x-
3 f) x = 0
g) y = -x +1 h) y = 3 i)3x +2y+1=0 j) -3x+ 2y= 0
EJERCICIO 2.-
Determinar m y n de modo que los puntos de coordenadas (0,m) y (n,0) son soluciones
de la ecuación 2x -3y + 6 = 0.
EJERCICIO.-3.-
Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1) y es paralela a la recta
que pasa por los puntos (1,3 ) ( 2,0 )
EJERCICIO.4.-
Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (2, -2) y ( - 1,3)
EJERCICIO.-5.-
Ecuación de la recta que pasa por el punto ( -4,5) y cuya pendiente es 2/3
EJERCICIO. 6.-
Ecuación de la recta que pasa por el punto ( -4,1) y es paralela a la recta que une lospuntos (2,3) y ( -5,0)
EJERCICIO.-7.-
Ecuación de la recta que pasa por el punto ( 2, -1) y es perpendicular a la recta que une los puntos (4,3) y ( -2,5)
EJERCICIO.-8.-
Siendo los vértices de un triángulo A(9,6) B(1,4) C(7,2) se pide
Hallar:
.- Ecuación del lado AB
.- Ecuación de la recta que pasa por (0, -3) y es paralela a BC
.- Ecuación de la perpendicular en el punto medio de AC.
EJERCICIO.- 9.-
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas
3x - 2y +10=0 y el punto (2,1)
4x+ 3y- 7 =0
EJERCICIO.10
Ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección del as rectas
x +3y=5 , 3x +5y= 11 y es perpendicular a la recta x +y = 7
EJERCICIO.- 11
Resolver los siguientes sistemas. Representarlos gráficamente y significado geométrico de su solución:
a) y = x +2 b) x +y =3 c) 5x +y =6
y = 2x +3 x +2y =4 5x +3y =7
d) 4x +2y = - 1 e) x -y =4 f) x –y =1
x +y =0 3x - 3y= -3 2x - 2y=2
g) x +y =2 h) x +y = 2 i) x +y =2 j) x +y =-3
x –y =4 3x +3y=3 x +y =4 2 x +y=2
PROBLEMAS DE APLICACIÓN:
1.- La suma de tres nº consecutivos es 114 ¿cuáles son esos nº ?
2.- ¿Cual es el nº que al multiplicarlo por 2 y sumarle 84 al resultado es igual a 234
3.- Las edades de Juan y Antonio suman 46 años Juan tiene 6 años mas que Antonio ¿Cual es la edad de cada uno?
4.- Un padre dice a su hijo :Hoy mi edad es el triple que la tuya pero dentro de 18 años será solo el doble ¿cuantos años tiene cada uno?
5.- El cociente y resto de una división entera son iguales a 4, entre el dividendo y divisor suman 149. Calcula Los tres lados de un triángulo miden 18, 16, 9 cm
.
7.- Determinar que misma cantidad se debe restar a cada lado para que resulte un triángulo rectángulo.
8.-Hallar dos nº pares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 452
9.- Determinar un nº que sumado con su raíz cuadrada sea 132
PENDIENTE E INCLINACIÓN DE LA RECTA
Pendiente de una carretera.
En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal (la tangente del valor de la "m" es el ángulo en radianes).
Puede referirse a la pendiente de una recta, caso particular de la tangente a una curva cualquiera, en cuyo caso representa la derivada de la función en el punto considerado, y es un parámetro relevante en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas, canales y otros elementos constructivos.
1 Definición de la pendiente
2 Geometría
3 La pendiente en las ecuaciones de la recta
4 Véase también
Definición de la pendiente.
La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano ), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:
(El símbolo delta "Δ", es comúnmente usado en calculo para representar un cambio o diferencia).
Dados dos puntos (x1,y1) y (x2,y2), la diferencia en X es x2 − x1, mientras que el cambio en Y se calcula como y2 − y1. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:
que es pendiente entre dos puntos
Mientras el valor de la pendiente sea mayor, la recta tendrá a su vez mayor inclinación. Una línea horizontal tiene pendiente = 0, mientras que una que forme un ángulo de 45° con el eje X tiene una pendiente = +1 (si la recta "sube hacia la derecha"). Una recta con 45° de inclinación que "baje hacia la derecha", tiene pendiente = -1. Una recta vertical no tiene un número real que la defina, ya que su pendiente tiende a infinito.
El ángulo θ que una recta tiene con el eje positivo de X, está relacionado con la pendiente M, en la siguiente ecuación:
y
Dos o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, o si ambas son verticales y por ende no tienen pendiente definida; 2 o más rectas son perpendiculares (forman un ángulo recto entre ellas), si el producto de sus pendientes es igual a -1, o una posee pendiente 0 y la otra no esta definida (infinita).
La pendiente de la recta en la fórmula general:
está dada por:
ECUACIÓN DE LA RECTA APOYADA EN DOS PUNTOS
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIAS
Algunos de los elementos de una circunferencia son: diámetro, radio, cuerda y arco. Para experimentar con las propiedades de la circunferencia, se ata un hilo alrededor de una lata y se mide la longitud del hilo (longitud de la circunferencia). Utilizando el hilo, se divide la tapa de la lata en dos partes iguales y se mide la longitud (diámetro de la tapa). Se divide el valor medido de la circunferencia (C) por el del diámetro (D); si se repite varias veces esta operación con distintos objetos circulares, se obtiene siempre un cociente C :D alrededor de 3:1, sean los círculos grandes o pequeños. Este cociente se representa con el símbolo p. Circunferencia, en geometría, curva plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia. No se debe confundir con el círculo (superficie), aunque ambos conceptos están estrechamente relacionados. La circunferencia pertenece a la clase de curvas conocidas como cónicas, pues una circunferencia se puede definir como la intersección de una superficie cónica con un plano perpendicular a su eje.
Cualquier segmento rectilíneo que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia se denomina diámetro. Un radio es un segmento que va desde el centro hasta la circunferencia. Una cuerda es un segmento rectilíneo cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia. Un arco de circunferencia es la parte de ésta que está delimitada por dos puntos. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro y cuyos lados son dos radios.
La proporción entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es una constante, representada por el símbolo p, o pi. Es una de las constantes matemáticas más importantes y desempeña un papel fundamental en muchos cálculos y demostraciones en matemáticas, física y otras ciencias, así como en ingeniería. Pi es aproximadamente 3,141592, aunque considerar 3,1416, o incluso 3,14, es suficiente para la mayoría de los cálculos. El matemático griego Arquímedes encontró que el valor de p estaba entre 3 + ‡ y 3 + .
El centro de la circunferencia es centro de simetría, y cualquier diámetro es eje de simetría.
Longitud de la CIRCUNFERENCIA
La longitud de una circunferencia es:
donde es la longitud del radio.
Pues (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
ECUACIÓN EN COORDENADAS CARTESIANAS
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al
.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia,
se deduce:
resultando:
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ,la ecuación de la circunferencia es:
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: \,">.Donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y,al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.
ECUACIÓN EN COORDENADAS POLARES
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:
ECUACIÓN EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS .
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:
y con funciones racionales como
Área del círculo delimitado por una circunferencia
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al producto del apotema por el perímetro del polígono dividido entre 2, es decir: .
Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:
Ejercicios
Calcula la ecuación de la circunferencia cuyo centro C (2, -1) y r=2
Calcula la ecuación de la circunferencia cuyo centro C(0,0) y r=3
Dada la ecuación de la circunferencia x 2 + y 2 - 4x +2y - 4 =0 calcula su centro y su radio.
Dada la ecuación x 2 + y 2 - 25 =0 ,mirar si es circunferencia. caso afirmativo calcula su centro y su radio
Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, -2) y de radio 3.
Ver cual de las siguientes expresiones representan una circunferencia. Caso afirmativo, calcula su centro y su radio:
x 2 + y 2 +2x -3=0 x 2 + y 2+ x y -x+4y-1=0
x 2 - y 2+2x +3y+5=0 x 2 + y 2 - 8x +2y +10 =0
x 2 + y 2 +4x - 5= 0 x 2 + y 2 -6y=0
2x 2 +2 y 2+6x+4y - 6=0 x 2 + y 2 - 9=0
x 2 + y 2 +9=0 x 2 + y 2 +9x=0
ECUACIÓN DE LA ELIPSES
Ecuación de la elipse
Ecuación reducida de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:
F'(-c, 0) y F(c, 0)
Cualquier punto de la elipse cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
Ejemplo
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.
Semieje mayor
Semidistancia focal
Semieje menor
Ecuación reducida
Excentricidad
Ecuación reducida de eje vertical de la elipse
Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:
Las coordenadas de los focos son:
F'(0, -c) y F(o, c)
Ejemplo
Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.
Ecuación de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:
Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:
Donde A y B tienen el mismo signo.
Ejemplos
Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).
Dada la elipse de ecuación , hallar su centro, semiejes, vértices y focos.
Ecuación de eje vertical de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:
Ejercicios
Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.
1
2
3
4
Halla la ecuación de la elipse conociendo:
1
2
3
4
Escribe la ecuación reducida de la elipse que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje menor mide 4.
La distancia focal de una elipse es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuación reducida de dicha elipse.
Determina la ecuación reducida de un elipse cuya distancia focal es y el área del rectángulo construidos sobre los ejes 80 u2.
Determina la ecuación reducida de una elipse sabiendo que uno de los vértices dista 8 de un foco y 18 del otro.
Halla la ecuación reducida de una elipse sabiendo que pasa por el punto (0, 4) y su excentricidad es 3/5.
ECUACIÓN DE LA PARABOLA
EJERCICIOS
Calcula los elementos notables y representa gráficamente
y = 2x 2 , y = x 2 – 5
y = - 2x 2 , y = x 2 +1
y = - x 2 +1 , y = 2x 2 +4x +2 , y = - x 2 +2x
y = x 2 +2x , y = x 2 +5x +16 , y = (x -3) (x +1)
y = - x 2 +3x + 10 , y = - x 2 - x + 2
y = (x -5) (x -3) , y = x 2 +2x +1 , y = - x 2 +3x , y = - x 2 - 3x
ECUACIÓN DE LA ELIPSES
Ejercicios :
Halla la ecuación reducida de la elipse cuya distancia focal es de 10 m y el semieje
mayor 12m
Halla la ecuación reducida de la elipse de eje mayor 18 m y de excentricidad 1/4
Halla la distancia focal, semieje menor y la ecuación reducida de la elipse si el semieje
mayor es igual a 4 y la excentricidad igual a 3/5
Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias
a los puntos (2 ,0 ) , ( -2,0) es 8
Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los puntos P(8,-3) Q (-6,4) ,calcular la
excentricidad y la distancia focal.
Encontrar los elementos notables de la elipse de ecuación:
x 2 y 2
---- + ---- = 1
25 9
7º.- Encontrar los elementos notables de la elipse de ecuación:
x 2 y 2
---- + ---- = 1
75 12
ejercicios :
Hallar el semieje mayor menor de la elipse de ecuación 4x 2+ 9 y 2 -8 x + 36 y -104 =
0
Calcula los elementos notables de las siguientes elipses
2x 2+7 y 2 -20 x +42 y +63 = 128
x 2+3 y 2 - 8 x -12 y -200 = 0
3 x 2+5 y 2 -12 x - 30 y -3 = 0
3 x 2+ 2 y 2 + 6 x -8 y = 9
3 x 2+ 6 y 2 +12 x -24 y = 108
2 x 2+ 4 y 2-12 x -24 y -51= 0
x 2+ y 2 +2x -4y -33 = 0
EJERCICIOS VARIOS COMBINADOS
Estudio de las siguientes graficas ,calcular sus elementos notables y representa
gráficamente:
- x 2+ y -4 x = 0 x 2+ y 2 + 8x = 0
x 2+ y 2 +3 x -2 y = 0 x 2+ y 2 -3 x -2 y-4 = 0
50 x 2+ 6 y 2 = 144 2x 2+ 2 y 2 -8 x = 0
30 x 2+ 40 y 2 +60= 0 x 2+ y +3 x +1= 0
- x 2-- y 2 +10= 0 30 x 2+ 40 y 2 +60= 0
x 2+ y 2 - 60= 20 x 2+ 15y 2 -20= 10
3 x 2+ 4 y 2 - 20= 0 30 x 2+ 40 y 2 -60= 0
Hallar los puntos de intersección de la recta x + y + 1 = 0 y la elipse 2 x 2
+ 3y 2 - 4x +
6y - 9 = 0.
UNIDAD 3
INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA
Definición y aplicación Trigonometría.-Funciones Trigonométricas.- Identidades Trigonométricas.- Teorema de Pitágoras.- Resolución de triángulos Rectángulos y Oblicuángulos.- Formas de Razonamiento: Actividades de Auto evaluación.
DESARROLLO
Trigonometría
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial Internacional. Este manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posición final del astronauta en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonómetricas de esos ángulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.
1 Unidades angulares
2 Razones trigonométricas
3 Razones trigonométricas recíprocas
4 Funciones trigonométricas inversas
5 Valor de las funciones trigonométricas
6 Sentido de las funciones trigonométricas
6.1 Primer cuadrante
6.2 Segundo cuadrante
6.3 Tercer cuadrante
6.4 Cuarto cuadrante
7 Representación gráfica
8 Identidades trigonométricas
8.1 Recíprocas
8.2 De división
8.3 Por el teorema de Pitágoras
8.4 Suma y diferencia de dos ángulos
8.5 Suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos
8.6 Producto del seno y coseno de dos ángulos
8.7 Ángulo doble
8.8 Ángulo mitad
8.9 Otras identidades trigonométricas
9 Función tangente
10 Seno y coseno, funciones complejas
11 Referencias
12 Bibliografía
13 Véase también
14 Enlaces externos
Unidades angulares
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.
Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
Razones trigonométricas
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
Razones trigonométricas recíprocas
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:
La Secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:
La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.
Funciones trigonométricas inversas
En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:
y es igual al seno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.
si:
y es igual al coseno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.
si:
y es igual al tangente de x, la función inversa:
x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.
Valor de las funciones trigonométricas
A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:
Circunferencia en radianes.
Circunferencia en Grado sexagesimal.
Radianes
Grados sexag.
seno
coseno
tangente
cosecante
secante
cotangente
Para el calculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.
Sentido de las funciones trigonométricas
Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.
Notese que el punto A es el vertice del triangulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:
a todos los efectos.
La recta r, que pasa por O y forma un ángulo sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.
Por semejanza de triángulos:
Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia y son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:
tenemos:
La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.
Primer cuadrante
Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo .
Para , tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto:
Si aumentamos progresivamente el valor de , las distancias y aumentaran progresivamente, mientras que disminuirá.
Percatarse que y están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia será infinita.
La tangente toma valor infinito cuando rad, el seno vale 1 y el coseno 0.
Segundo cuadrante
Cuando el ángulo supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento , el coseno aumenta según el segmento , pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.
La tangente para un ángulo inferior a rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo aumenta progresivamente hasta los rad.
Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de , , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para rad, hasta que valga 0, para rad, el coseno, , toma valor negativo y su valor varia desde 0 para rad, hasta –1, para rad.
La tangente conserva la relación:
incluyendo el signo de estos valores.
Tercer cuadrante
En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo rad a rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para rad:
Cuando el ángulo aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.
A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento , el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.
El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, .
Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente, , aumenta igual que en el primer cuadrante
Cuando el ángulo alcance rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.
El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.
Cuarto cuadrante
En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo entre rad y rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para rad:
hasta los que toman para rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:
como puede verse a medida que el ángulo aumenta, aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y.
Cuando , vale ó al completar una rotación completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.
Representación gráfica
Representación de las funciones trigonométricas en el plano (x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.
Identidades trigonométricas
Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen seis identidades fundamentales:
Recíprocas
De división
Por el teorema de Pitágoras
Como en el triángulo rectángulo cumple la funcion que:
de la figura anterior se tiene que:
entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica :
que también puede expresarse:
Suma y diferencia de dos ángulos
Suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos
Producto del seno y coseno de dos ángulos
Ángulo doble
Ángulo mitad
Otras identidades trigonométricas
Función tangente
En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:
tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos
tan (π/2) = tan (90°) = +∞
tan (-π/2) = tan (-90°) = -∞
tan (0) = 0
tan (π/4) = tan (45°) = 1
tan (π/3) = tan 60°=
tan (π/6) = tan 30° =
Una identidad de importancia con la tangente es:
Seno y coseno, funciones complejas
El seno y coseno se definen en matemática compleja, gracias a la fórmula de Euler como:
Por lo tanto, la tangente quedará definida como:
Siendo
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